数学选修4-4 坐标系与参数方程综合练习(一)
一、选择题
1.若直线的参数方程为12()23x t
t y t =+??
=-?
为参数,则直线的斜率为( )
A .
23 B .23- C .32 D .3
2
- 2.下列在曲线sin 2()cos sin x y θ
θθθ=??
=+?
为参数上的点是( )
A .1
(,2)2
- B .31
(,)42
-
C .(2,3)
D .(1,3) 3.将参数方程2
2
2sin ()sin x y θ
θθ
?=+??=??为参数化为普通方程为( ) A .2y x =- B .2y x =+
C .2(23)y x x =-≤≤
D .2(01)y x y =+≤≤ 4.化极坐标方程2
cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为( )
A .2
01y y +==2
x 或 B .1x = C .2
01y +==2
x 或x D .1y =
5.点M 的直角坐标是(1,3)-,则点M 的极坐标为( )
A .(2,
)3π
B .(2,)3π-
C .2(2,)3π
D .(2,2),()3
k k Z π
π+∈
6.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为( )
A .一条射线和一个圆
B .两条直线
C .一条直线和一个圆
D .一个圆
二、填空题 1.直线34()45x t
t y t =+??
=-?
为参数的斜率为______________________。
2.参数方程()2()
t t
t t
x e e
t y e e --?=+??=-??为参数的普通方程为__________________。 3.已知直线113:()24x t
l t y t =+??
=-?
为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ,又点
(1,2)A ,则AB =_______________。
4.直线122
()112
x t t y t ?
=-???
?=-+??为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。 5.直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。 三、解答题
1.已知点(,)P x y 是圆2
2
2x y y +=上的动点, (1)求2x y +的取值范围;
(2)若0x y a ++≥恒成立,求实数a 的取值范围。
2.求直线11:()53x t
l t y t
=+???
=-+??为参数和直线2:230l x y --=的交点P 的坐标,及点P 与(1,5)Q -的距离。
3.在椭圆22
11612
x y +=上找一点,使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值。
数学选修4-4 坐标系与参数方程综合练习(二)
一、选择题
1.直线l 的参数方程为()x a t
t y b t
=+??=+?为参数,l 上的点1P 对应的参数是1t ,则点1
P 与(,)P a b 之间的距离是( )
A .1t
B .12t
C .12t
D .
12
2
t 2.参数方程为1()2
x t t t y ?
=+
???=?为参数表示的曲线是( )
A .一条直线
B .两条直线
C .一条射线
D .两条射线
3.直线112()3332
x t t y t ?=+??
??=-+??为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点,
则AB 的中点坐标为( )
A .(3,3)-
B .(3,3)-
C .(3,3)-
D .(3,3)- 4.圆5cos 53sin ρθθ=-的圆心坐标是( )
A .4(5,)3π--
B .(5,)3π-
C .(5,)3π
D .5(5,)3
π-
5.与参数方程为()21x t
t y t
?=??
=-??为参数等价的普通方程为( ) A .214y +=2
x B .21(01)4
y x +=≤≤2x C .21(02)4y y +=≤≤2
x D .21(01,02)4
y x y +=≤≤≤≤2
x 6.直线2()1x t
t y t
=-+??
=-?为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为( )
A .98
B .1
40
4
C .82
D .9343+
二、填空题
1.曲线的参数方程是211()1x t t y t ?
=-
?≠??=-?
为参数,t 0,则它的普通方程为
__________________。 2.直线3()14x at
t y t =+??
=-+?
为参数过定点_____________。
3.点P(x,y)是椭圆222312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值为___________。
4.曲线的极坐标方程为1
tan cos ρθθ
=?,则曲线的直角坐标方程为________________。 5.设
()y tx t =为参数则圆2240x y y +-=的参数方程为
__________________________。 三、解答题
1.参数方程cos (sin cos )
()sin (sin cos )x y θθθθθθθ=+??=+?
为参数表示什么曲线?
2.点P 在椭圆22
1169
x y +=上,求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离。
3.已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=,
(1)写出直线l 的参数方程。
(2)设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ,求点P 到,A B 两点的距离之积。
数学选修4-4 坐标系与参数方程综合练习(三)
一、选择题
1.把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是( )
A .1
21
2x t y t -?=???=?
B .sin 1sin x t y t =???=??
C .cos 1cos x t y t =???=??
D .tan 1tan x t y t =???=??
2.曲线25()12x t
t y t =-+??=-?
为参数与坐标轴的交点是( )
A .21(0,)(,0)52
、
B .11
(0,)(,0)52、 C .(0,4)(8,0)-、 D .5
(0,)(8,0)9
、 3.直线12()2x t
t y t
=+??
=+?为参数被圆229x y +=截得的弦长为( )
A .
125 B .
12
55 C .955 D .9
105
4.若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2
4()4x t t y t
?=?=?为参数上,
则PF 等于( ) A .2 B .3 C .4 D .5
5.极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为( )
A .极点
B .极轴
C .一条直线
D .两条相交直线
6.在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为( )
A .cos 2ρθ=
B .sin 2ρθ=
C .4sin()3π
ρθ=+ D .4sin()3
π
ρθ=-
二、填空题
1.已知曲线2
2()2x pt t p y pt ?=?=?为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为
12,t t 和,120t t +=且,那么MN =_______________。
2.直线22()32x t
t y t
?=--??
=+??为参数上与点(2,3)A -的距离等于2的点的坐标是_______。
3.圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθ
θθθ=+??=-?
为参数,则此圆的半径为
_______________。
4.极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为_____________。
5.直线cos sin x t y t θθ=??=?与圆42cos 2sin x y α
α=+??=?
相切,则θ=_______________。
三、解答题
2.过点10
(
,0)2
P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N , 求PM PN ?的值及相应的α的值。
数学选修4-4 坐标系与参数方程 一 1.D 233
122
y t k x t --=
==-- 2.B 转化为普通方程:21y x =+,当34x =-时,1
2
y =
3.C 转化为普通方程:2y x =-,但是[2,3],[0,1]x y ∈∈ 4.C
22(cos 1)0,0,cos 1x y x ρρθρρθ-==+===或
5.C 2(2,2),()3
k k Z π
π+∈都是极坐标 6.C 2cos 4sin cos ,cos 0,4sin ,4sin ρθθθθρθρρθ====或即 则,2
k π
θπ=+或224x y y +=
二、填空题 1.54-
455
344
y t k x t --=
==-- 2.221,(2)416x y x -=≥ 22
()()422222
t
t
t
t t
t
y x e x e e y y x x y y e e x e ---??+==+?????+-=??=-??-=??? 3.52 将1324x t y t
=+??=-?代入245x y -=得12t =,则5
(,0)2B ,而(1,2)A ,得
5
2
AB =
4.14 直线为10x y +-=,圆心到直线的距离12
22
d =
=,弦长的一半为22214
2(
)22
-=
,得弦长为14 5.
2
π
θα=+ cos cos sin sin 0,cos()0ρθαρθαθα+=-=,取2
π
θα-=
三、解答题
1.解:(1)设圆的参数方程为cos 1sin x y θ
θ=??
=+?
,
22cos sin 15sin()1x y θθθ?+=++=++ 51251x y ∴-+≤+≤+
(2)cos sin 10x y a a θθ++=+++≥
(cos sin )12sin()1
4
21a a π
θθθ∴≥-+-=-+-∴≥-- 2.解:将153x t
y t =+???=-+??
代入230x y --=得23t =,
得(123,1)P +,而(1,5)Q -,得2
2
(23)643PQ =+=
3.解:设椭圆的参数方程为4cos 23sin x y θ
θ
=???=??,4cos 43sin 125d θθ--=
4545cos 3sin 32cos()3553
θ
θθθ=
--=+- cos()1π
θ+
=45
d =
(2,3)-
数学选修4-4 坐标系与参数方程 二 一、选择题
1.C 距离为2
2
1112t t t +=
2.D 2y =表示一条平行于x 轴的直线,而2,2x x ≥≤-或,所以表示两条射线
3.D 22
13(1)(33)1622
t t +
+-+=,得2880t t --=,12128,42t t t t ++==
中点为1143
2333342
x x y y ?
=+??=??????
=-?
??=-+??? 4.A 圆心为553
(,)22
-
5.D 222
22
,11,1,0,011,0244
y y x t t x x t t y ==-=-+=≥≤-≤≤≤而得 6.C 2
222212
122
x t x t y t y t ?=-+?
?=-+?????
=-??=-???,把直线21x t y t =-+??=-?代入 22(3)(1)25x y -++=得222(5)(2)25,720t t t t -++-=-+=
2121212()441t t t t t t -=+-=,弦长为12282t t -=
二、填空题 1.(2)(1)x x y x -=
≠ 111,,x t -==而2
1y t =-, 即22
1(2)1(
)(1)1(1)x x y x x x -=-=≠-- 2.(3,1)-
14
3y x a
+=-,(1)4120y a x -++-=对于任何a 都成立,则3,1
x y ==-且 3.22 椭圆为22
164
x y +=,设(6cos ,2sin )P θθ, 26cos 4sin 22sin()22x y θθθ?+=+=+≤
4.2x y = 2222
1sin tan ,cos sin ,cos sin ,cos cos θ
ρθρθθρθρθθθ
=?
===即2x y =
5.22
24141t x t t y t ?=??+??=
?+? 22
()40x tx tx +-=,当0x =时,0y =;当0x ≠时,241t x t =+; 而y tx =,即2241t y t =+,得2
2
24141t x t t y t ?
=??+??=
?+?
三、解答题
1.解:显然tan y x θ=,则22
2222111,cos cos 1y y x x
θθ
+==+
2
222112tan cos sin cos sin 2cos cos 221tan x θθθθθθθθ=+=
+=?++ 即222222
22
21
11,(1)12
111y y y y x x x x y y y x x x
x x
+=?
+=+=++++ 得2
1y y
x x x
+
=+,即220x y x y +--= 2.解:设(4cos ,3sin )P θθ,则12cos 12sin 24
5
d θθ--=
即122cos()24
4
5
d π
θ+-=,
当cos()14
π
θ+=-时,max 12
(22)5d =+; 当cos()14
π
θ+
=时,min
12
(22)5
d =-。 3.解:(1)直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ?=+????=+??,即312112x t y t ?=+???
?=+?? (2)把直线3
12112
x t y t ?=+???
?=+??代入422=+y x 22231
(1)(1)4,(31)20t t t t +++=++-=122t t =-,则点P 到,A B 两点的距离之积为2
数学选修4-4 坐标系与参数方程 三 一、选择题
1.D 1xy =,x 取非零实数,而A ,B ,C 中的x 的范围有各自的限制
2.B 当0x =时,25t =
,而12y t =-,即15y =,得与y 轴的交点为1(0,)5; 当0y =时,12t =,而25x t =-+,即12x =,得与x 轴的交点为1
(,0)2
3.B 2
15125
21155
x t x t y t y t ?
=+??=+??
???
=+??=+?
??
,把直线122x t y t =+??=+?
代入
229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-= 2212121281612
()4()555
t t t t t t -=+-=-+=
,弦长为
1212
555
t t -=
4.C 抛物线为2
4y x =,准线为1x =-,PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离,即为4
5.D cos 20,cos 20,4
k π
ρθθθπ===±
,为两条相交直线
6.A 4sin ρθ=的普通方程为22
(2)4x y +-=,cos 2ρθ=的普通方程为
2x =
圆2
2
(2)4x y +-=与直线2x =显然相切
二、填空题
1.14p t 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴。即x 轴,
12
1
22
2M N p t t p t =-
= 2.(3,4)-,或(1,2)- 2
2
2
2
12
(2)(2)(2),,22
t t t t -+==
=±
3.5 由3sin 4cos 4sin 3cos x y θθ
θθ
=+??
=-?得2225x y +=
4.
2
2
圆心分别为1(,0)2和1(0,)2
5.
6
π,或56π 直线为tan y x θ=,圆为22
(4)4x y -+=,作出图形,相切时,
易知倾斜角为6
π,或56π
三、解答题
1.解:(1)当0t =时,0,cos y x θ==,即1,0x y ≤=且; 当0t ≠时,cos ,sin 11()()2
2
t t t t x y e e e e θθ--=
=
+-
而22
1x y +=,即
2
2
22111()()4
4
t
t t t x y e e e e --+
=+-
(2)当,k k Z θπ=∈时,0y =,1()2
t
t x e e -=±
+,即1,0x y ≥=且; 当,2k k Z πθπ=+∈时,0x =,1()2
t t
y e e -=±-,即0x =;
当,2k k Z πθ≠∈时,得2cos 2sin t t t t x e e y e e θθ--?+=????-=??,即222cos sin 222cos sin t
t x y e x y e θθθθ-?=+????=-
??
得222222(
)()cos sin cos sin t
t
x y x y
e e
θθθθ
-?=+- 即22
2
21cos sin x y θθ
-=。 2.解:设直线为10
cos ()2
sin x t t y t αα?=
+???=?
为参数,代入曲线并整理得 223
(1sin )(10cos )02
t t αα+++
= 则1223
21sin PM PN t t α
?==+ 所以当2
sin 1α=时,即2πα=,PM PN ?的最小值为34,此时2
πα=。