高等数学习题答案4资料

四、导数的应用

1. 验证函数()ln sin f x x = 在[

π5π

,66

]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使()0f ξ'=

.

解：()lnsin f x x =在????

??65,6ππ上连续，在??

?

??6

5,6ππ上可导，且 2ln 656-=??

?

??=??? ??ππf f ，显然满足罗尔定理的三个条件. ()x x x f sin cos '=

，若令()0'=ξf ，则有2

π

ξ=. 2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ

[]2

(1)()1,1,1x f x =--e

解：()1)1(1-==-e f f ，且连续、可导，满足罗尔定理中的三个条件. ()2

2'x xe x f =，若令()0'=ξf ，则有0=ξ.

[](2)(),0,21f x x =-

解：函数在1=x 点的导数不存在，故不满足罗尔定理的条件.

[]sin ,0π

(3)()0,π1,0x x f x x <≤?=?=?

解：函数在0=x 点不连续，故不满足罗尔定理的条件.

3. 不用求出函数()(1)(2)(3)f x x x x =---的导数，说明方程()0f x '=有几个实根，并指出它们所在的区间.

解：0)2()1(==f f ，根据罗尔定理知：存在)2,1(1∈ξ，使得0)('1=ξf ;

同理0)3()2(==f f ，根据罗尔定理知：存在)3,2(2∈ξ，使得0)('2=ξf ; 又由于)('x f 是二次方程，最多只有两个不相等的实根， 故0)('=x f 的两个实根分别为)2,1(1∈ξ，)3,2(2∈ξ.

4. 验证拉格朗日中值定理对函数3

()2f x x x =+在区间[0,1]上的正确性. 解：割线的斜率30

1)

0()1(=--=

f f k ，

23)('2

+=x x f ，若令()3'=ξf ，则有3

3=

ξ. 5. 已知函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且0)()(==b f a f ,试证：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()0,(,)f f a b ξξξ'+=∈

证明：构造函数)()(x f e x F x

=，显然)(x F 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导， 且0)()(==b F a F ，根据罗尔定理：

在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得0)('=ξF ， 进而得到()()0,(,)f f a b ξξξ'+=∈. 6. 若方程10110n n n a x a x a x --++

+=有一个正根0x ,证明方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-+

+=必有一个小于0x 的正根.

解：令x a x a x a x f n n n 11

10)(--+++= ，

方程10110n n n a x a x a x --+++=有正根0x ，即0)(0=x f ，

同时0)0(=f ，得到)0()(0f x f =，根据罗尔定理，存在),0(0x ∈ξ，使得0)('=ξf ， 即12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-+

+=必有一个小于0x 的正根.

7. 设()()()f a f c f b ==,且a c b <<,()f x ''在[],a b 上存在，证明在(),a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ''=

解：)()(c f a f =，根据罗尔定理：存在),(1c a ∈ξ，使得0)('1=ξf ;

)()(c f b f =，根据罗尔定理：存在),(2b c ∈ξ，使得0)('2=ξf ;

由)("x f 在],[b a 上存在，得到)('x f 在],[b a 上连续且可导，又0)(')('21==ξξf f ，根据罗尔定理知：存在),(21ξξξ∈，使得0)("=ξf . 8. 利用洛必达法则求下列极限. (1) sin3lim

tan5x x

x π

→5

3-= (2) 0e 1lim (e 1)x x x x x →---2

1

=

(3) lim m m n n x a x a x a →--n

m a n

m -=

(4)0

lim sin ln x x x +

→ 0= (5) 0e 1

lim()e 1x x x x →--2

3=

(6) 1

lim(1sin )x

x x →+e =

(7) 2

lim (arctan )π

x x x →+∞π2

-=e

(8)2

120

lim e x x x → +∞→

(9) lim )x x →+∞

3

1=

(10) 11

01lim (1)e x

x

x x →??

+????

2

1-=e

9

21lim

1

x x mx n

x →++-=5,求常数m ,

n

解：由521

2lim 1lim

121=+=+=-++→→m m

x x n mx x x x ，得到3=m ; 由01lim 2

1

=++=++→n m n mx x x ，得到4-=n .

10．设f (x )具有二阶连续导数，且f (0)=0,试证g (x )= ()

,0'(0),0

f x x x f x ?≠?

??=?

解：当0≠x 时，2

)

()(')('x x f x x f x g -=

，显然)('x g 连续; 当0=x 时，)0("212)0(')('lim )0(')

(lim )0('00f x f x f x f x x f g x x 导数定义洛必达法则

=-=-=→→;

)0("21

2)("lim 2)(')(')("lim )()('lim )('lim 00200f x f x x f x f x x f x

x f x x f x g x x x x ==-+=-=→→→→ )('x g 在0=x 点的函数值和极限值相等，故在0=x 点也连续;

综上得到)(x g 可导，且导函数连续.

11

．求下面函数的单调区间与极值

(1)3

2

()26187f x x x x =---

解：单调增区间为)1,(--∞，),3(+∞; 单调减区间为)3,1(-;

(2)()ln f x x x

=-

解：单调增区间为),1(+∞; 单调减区间为)1,0(;

12. 试证方程x x =sin 只有一个根.

解：构造函数x x x f -=sin )(，显然)(x f 连续.

0212>+-=???

??-

ππf ，

0212<-=??

?

??ππf

因此022

ππf f ，根据零点定理：存在??

?

??-∈2,2ππξ，使得0)(=ξf . 又01cos )('≤-=x x f ，)('x f 只在一些孤立点上的值为0，因此)(x f 严格单调递减，

只能存在唯一的一个根.

13. 已知()([0,))f x C ∈+∞，若f (0) = 0, f ′(x )在[0,)+∞内存在且单调增加，证明

()

f x x

在[0,)+∞内也单调增加.

解：令x

x f x F )

()(=

，则 2

2)]

0()([)(')()(')('x

f x f x x f x x f x x f x F --=-= x f x f x

x f x x f )

(')(')(')('2

ξξ-=-=柯西中值定理， 其中()x ,0∈ξ 由于函数)('x f 在],0[+∞单调递增，故0)('>x F ，即)(x F 单调增加. 14.证明下列不等式

(1) 1+

1

2

x x ＞0； 解：构造函数x x

x f +-+=12

1)(

0,012121)('>>+-=

x x

x f ，即函数)(x f 单调增加，且0)0(=f ，则 0,0)(>>x x f 时恒成立，即证.

(2) x -2

2

x ＜ln (1+x )＜x , x ＞

解：构造函数)1ln()(x x x f +-=

构造函数???

?

??--+=2)1ln()(2x x x x g

15. 试问a 为何值时，1

()sin sin 33

f x a x x =+在3

x π=处取得极值?是极大值还是极小值?

并求出此极值.

解：x x a x f 3cos cos )('+=，令03'=??

?

??πf ，则2=a ; 033"<-=??

?

??πf ，该点是极大点. 16.讨论下列函数的凸性，并求曲线的拐点： (1)2

3

y x x =- 解：062"=-=x y ，3

1=

x 当??? ??∞-∈31,x 时，0">y ，函数下凸;

当??

? ??+∞∈,3

1x 时，0"

拐点为??

?

??272,

31.

(2) 2

ln(1)y x =+ 解： (3) =e x

y x

解：

17.利用函数的凸性证明下列不等式：

(1) e e 2

x y

+＞2e x y

+， x ≠y

解：构造函数x e x f =)(，0)(">=x

e x

f ，得到函数)(x f 下凸;

根据下凸的定义有：2)

()(2y f x f y x f +<

??

?

??+， 即2

2

y

x y x e e e

+<+.

(2) x ln x +y ln y ＞(x +y )ln 2

x y +,x ＞0,y ＞0,x ≠y

解：构造函数x x x f ln )(=

18． 当a ，b 为何值时，点(1，3)为曲线y =a 3

x +b 2

x 的拐点． 解：23-=a ，2

9=b

复习题四

一、填空

1．设2

)(x x f =，则在x x x ?+,之间满足拉格朗日中值定理结论的=ξ2

x

x ?+

. 2．设函数)(x g 在],[b a 上连续，),(b a 内可导，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使=-)()

(a g b g e e

))((')(a b g e g -ξξ 成立．

3．)0,0()(≥>=-x n e x x f x

n

的单增区间是),0(n ，单减区间是),(+∞n . 4．若点)3

4

,1(为曲线b x ax y +-=2

3为拐点，则 a =

31，=b 3

2． 5．曲线1

1

+-=x x y 的水平渐近线为1=y ，铅垂渐近线为1-=x ． 二、选择

1．函数)(x f y =具有下列特征：,0)0(',1)0(==f f 当0≠x 时，

0)('>x f

??

?>><<=0

,00

,0)(''x x x f ，则其图形为 B

（A ）

（B ）

（C ）

（D ）

2．设)(x f 在],[b a 上连续，)()(b f a f =，且)(x f 不恒为常数，则在),(b a 内 A

（A ）必有最大值或最小值 （B ）既有极大值又有极小值 （C ）既有最大值又有最小值 （D ）至少存在一点ξ，使0)('=ξf

三．求极限.)

1ln()

21(lim

22

10x x e x

x ++-→ 解：洛必达法则得到极限为1. 四．证明：当2

0π

<

+成立．

解：x x x x f 3sin 2tan )(-+=，3cos 2sec )('2

-+=x x x f

20,0cos cos 1sin 2sin 2tan sec 2)("332

π

<<>-=-=x x

x x x x x x f ，

故有)('x f 单调递增，0)0('=f ，得到0)('>x f ， 函数)(x f 单调递增且0)0(=f ，得到0)(>x f ，即证. 五. 设,],,[)(b d c a b a C x f <<<∈且证明],,[b a ∈?ξ 使

).()()()(d f c f f βαξβα+=+

解：设函数)(x f 在],[b a 上的最小值和最大值分别为)(min x f 和)(max x f ，

不妨设)()(d f c f ≤，则有)(max )()()(min x f d f c f x f ≤≤≤，

)(m in )()()()()(x f c f c f c f d f c f ≥=++

+≥

++

+βαββααβαββαα

)(m ax )()()()()(x f d f d f d f d f c f ≤=+++≤+++βαββ

ααβ

αββ

αα 根据介值定理，],[b a ∈?ξ，使得)()()(d f c f f β

αββ

αα

ξ++

+=.