高二基本不等式学生版
复习专题 基本不等式
常用的几个重要不等式：
(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)；(2)ab ≤? ????a ＋b 22(a ，b ∈R )；(3)? ??
??a ＋b 22≤a 2＋b
2
2(a ，b ∈R )；(4)
b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 判断注意： 正，定，等
考向一 利用基本不等式求最值
角度1 利用配凑法求最值
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：1拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形.
2代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. 3拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
例1 (1)已知0 A.13 B.12 C.34 D.2 3 (2)设x >0，则函数y ＝x ＋ 22x ＋1 －3 2的最小值为________． （3）．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋1 8b 的最小值为________． （4）已知x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，则8 (x ＋2)(y ＋4) 的最小值为________． （5）(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A.9 B.9 2 C. 3 D.322 角度2 利用常数代换法求最值 常数代换法求最值的步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： 1根据已知条件或其变形确定定值常数. 2把确定的定值常数变形为1. 3把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式. 4利用基本不等式求解最值. 例2（1）(2019·山西模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4 b 的最小值是( ) A.72 B.4 C.9 2 D.5 (2)(2019·绵阳诊断)若θ∈? ????0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( ) A ．[6，＋∞) B ．[10，＋∞) C ．[12，＋∞) D ．[16，＋∞) (3)(2017·山东高考)若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________． （4）.(2019·正定模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． 角度3 利用消元法求最值 通过消元法利用基本不等式求最值的方法 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解． 例3 (1)(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则ac b 2的最大值为( ) A ．8 B ．2 C ．18 D ．1 6 (2)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． （3）.(2019·安徽阜阳模拟)若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b ＋3b a 的最小值为________． 考向二 求参数值或取值范围 1要敏锐地洞察到已知条件与所求式子的联系，并能灵活的进行转化. 2利用基本不等式确立相关成立条件，从而得到参数的值或范围. 例4 (1)(2019·山西模拟)已知不等式(x ＋y )·? ???? 1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 (2)(2019·珠海模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 （3）.设a >0，b >0且不等式1a ＋1b ＋k a ＋ b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( ) A ．0 B ．4 C ．－4 D ．－2 （4）(2019·上海模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋3 2＋y ＝1，则xy 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16 考向三 基本不等式的实际应用 有关函数最值的实际问题的解题技巧 (1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． 2设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 3解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围. 4在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解. 例5(2019·西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元． (1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？ (2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？ 例6.某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件 与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－ k m＋1 (k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只 能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)． (1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 难点：两次利用基本不等式求值 利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法． 例7(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，则a 4＋4b4＋1 ab的最小值为________． 例8.已知a>b>0，求a2＋ 16 b(a－b) 的最小值． 专题 基本不等式 答案 例1（1）答案 B 解析 ∵0 ????3x ＋3－3x 22＝3 4，当3x ＝3－3x ，即x ＝1 2时，x (3－3x )取得最大值．故选B. （2）答案 0解析 y ＝x ＋ 22x ＋1－32＝? ????x ＋12＋1 x ＋12 －2≥2 ? ?? ??x ＋12· 1 x ＋12 －2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12 ，即x ＝1 2时等号成立．所以函数的最小值为0. （3）答案 1 4解析 由a －3b ＋6＝0可得a －3b ＝－6， 又∵2a ＋1 8b ≥2 2a 8b ＝2 2a －3b ＝2 2－6＝14(当且仅当a ＝－3，b ＝1时取等号)，最小值为14. （4）答案 1 2解析 ∵x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，∴x ＋2＋y ＋4＝8，∴8≥2(x ＋2)(y ＋4)， 即 1(x ＋2)(y ＋4)≥116，当且仅当x ＝2，y ＝0时取等号，则8(x ＋2)(y ＋4)≥816＝1 2. （5）答案 B 解析 当a ＝－6或a ＝3时， (3－a )(a ＋6)＝0；当－6 (3－a )(a ＋6) ≤3－a ＋a ＋62＝92，当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32 时取等号． 例2（1）答案 C 解析 y ＝12(a ＋b )? ????1a ＋4b ＝12? ????5＋4a b ＋b a ≥92? ????当且仅当a ＝23，b ＝43时等号成立. （2）答案 D 解析 ∵θ∈? ????0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝? ????1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2 θ＋cos 2 θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θ cos 2θ≥10＋2 cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π 6时等号成立． （3）答案 8解析 ∵直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，∴1a ＋2 b ＝1， ∴2a ＋b ＝(2a ＋b )? ?? ?? 1a ＋2b ＝4＋4a b ＋b a ≥4＋2 4a b ·b a ＝8， 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝2，b ＝4时，等号成立．故2a ＋b 的最小值为8. （4）答案 5解析 由x ＋3y ＝5xy ，可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )? ???? 15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥13 5＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号 例3（1）答案 C 解析 因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac b 2 ＝ ac (2a ＋c )2＝ac 4a 2＋4ac ＋c 2＝1 4a c ＋c a ＋4≤12 4a c ·c a ＋4 ＝1 8，当且仅当c ＝2a >0时等号成立．故选C. （2）答案 3解析 由x 2＋2xy －3＝0，得y ＝3－x 2 2x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋3 2x ≥3x 2·32x ＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3. （3）答案 6解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以b ＝a a －1 >0，所 以a >1，所以a ＋b ＋3b a ＝(a －1)＋4 a －1 ＋2≥4＋2＝6，当且仅当a ＝3时等号成立，最小值是6. 例4（1）答案 B 解析 (x ＋y )? ????1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2 ，当且仅当a · x y ＝y x ，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∵(x ＋y )? ????1x ＋a y ≥9，∴(x ＋y )? ?? ?? 1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2≥9.∴a ≥4.故选B. （2）答案 C 解析 解法一：由已知得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤? ????x ＋3y 22 ，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，令x ＋3y ＝t ，则t >0，且t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6. 解法二：∵x ＋3y ＝9－xy ≥23xy ，∴(xy )2＋23·xy －9≤0，∴(xy ＋33)·(xy －3)≤0， ∴0 （3）答案 C 解析 由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0得k ≥－(a ＋b )2 ab ，又(a ＋b )2 ab ＝a b ＋b a ＋2≥4(a ＝b 时取等号)， 所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2 ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4. （4）答案 D 解析 32＋x ＋32＋y ＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，xy 最小值为16. 例5解 (1)设第n 年获取利润为y 万元． n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n (n －1)2 ×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N * )． 令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0，解得3 ? ?? ?? 81n ＋n ≤30－281 n · n ＝12(当且仅 当81 n ＝n ，即 n ＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)． 方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)， 当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①. 例6.解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ?k ＝2，∴x ＝3－ 2 m ＋1 ， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x (元)，∴2018年的利润y ＝1.5x ×8＋16x x －8－16x －m ＝4＋8x －m ＝4＋8? ????3－2m ＋1－m ＝－??????16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0时，16 m ＋1 ＋(m ＋1)≥216＝8，∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当 16 m ＋1 ＝m ＋1?m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元． 例7答案 4解析 ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ，由于ab >0，∴4ab ＋ 1ab ≥24ab · 1 ab ＝4 ? ???? 当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立，故当且仅当??? a 2＝2 b 2 ，4ab ＝1ab 时，a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为4. 例8解 ∵a >b >0，∴a －b >0.∴b (a －b )≤?? ????b ＋(a －b )22＝a 2 4. ∴a 2＋ 16b (a －b ) ≥a 2＋64 a 2≥2 a 2· 64a 2＝16. 当a 2＝64 a 2且 b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．∴a 2＋ 16 b (a －b ) 的最小值为16. 专题：基本不等式 基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 三个不等式关系： （1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2 ，当且仅当a ＝b 时取等号． 上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系 【典例1】已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则 1 12 -+b a 的最小值为 . 练习：1．若实数满足，且，则的最小值为 ． 2.若实数,x y 满足1 33(0)2xy x x +=<< ，则313 x y +-的最小值为 ． 3.已知0,0,2a b c >>>，且2a b += ，则 2ac c c b ab +-+ 的最小值为 . 【典例2】已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y x ＋y 的最大值为 ． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 变式：1.若,a b R +∈,且满足22 a b a b +=+,则a b +的最大值为_________. 2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 3.设R y x ∈,，142 2 =++xy y x ，则y x +2的最大值为_________ 4.已知正数a ，b 满足 19 5a b +=，则ab 的最小值为 ,x y 0x y >>22log log 1x y +=22 x y x y +- 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ） a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ）a 1 +a ≥2 (a ≠0) （C ） a 1＜b 1 (a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 基本不等式 一. 基本不等式 ①公式：(0,0)2 a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版 二．考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则：一正 二定 三相等 一正： 指的是注意,a b 范围为正数。 二定： 指的是ab 是定值为常数 三相等：指的是取到最值时a b = 典型例题： 例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域 分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理） 解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞ 例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域 解：123 y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥， 即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域 分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 不在范围内 解：令sin (0,1)t x t =∈， 2y t t =+ 是对钩函数，利用图像可知： 在(0,1)上是单减函数，所以23t t + >，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞ 注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内， 如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。 不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 （一） 知识容 1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式． 一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）： 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解． 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根 有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根 一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈，且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲 高考要求 板块一：解一元二次不等式 解不等式 （二）主要方法 1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解． （三）典例分析： 1.二次不等式与分式不等式求解 【例1】 不等式 1 12 x x ->+的解集是 ． 【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为（ ） A ．{|31}x x x -或≥≤ B ．{|13}x x -≤≤ C ．{|31}x x -≤≤ D ．{|31}x x x -或≤≥ 【变式】 不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．132? ?-??? ? ， B ．132??-????， C ．(]11132??????U ，， D ．(]11132?? -???? U ，， 2.含绝对值的不等式问题 【例2】 已知n *∈N ，则不等式 220.011 n n -<+的解集为（ ） A ．{}|199n n n *∈N ≥， B ．{}|200n n n *∈N ≥， C ．{}|201n n n *∈N ≥， D ．{}|202n n n *∈N ≥， 【例3】 不等式 1 11 x x +<-的解集为（ ） A ．{}{}|01|1x x x x <<>U B ．{}|01x x << C ．{}|10x x -<< D ．{}|0x x < 【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值围是 _． 【例4】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值围为 ． 3.含参数不等式问题 【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解，则实数a 的取值围是（ ） A ．4a <- B ．4a >- C ．12a >- D ．12a <- 【变式】 ⑴已知0a <，则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则a b -=______． 研究性学习资料 不等式解法、 - 3 - 题型1：解含绝对值的不等式 1.解不等式：①|2x+51 |≥21 ；②|4x-3|<21 2.设全集U=｛x||x -2|>1｝，A ＝{x||x +1|≤1}，则C U A 等于 （ ） A 、｛x|x <-2或x >0｝ B 、｛x|x <1或x ＞3｝ C 、{x|x <-2或0＜x ＜1或x >3} D 、｛x|1 不等式的解法习题 1.不等式5310x x -++≥的解集是 . 2. 751<-+-x x 的解集是 3. 不等式 0)4)(3)(1)(1(2>-++-x x x x x 的解集是 . 4. 不等式x ->21的解集为A ，不等式 216616x x x -->--的解集为B ，则A 与B 的关系是 A. A B ? B. A B ? C. A B = D. A B =ΦI 5. 不等式x x 21-≥的解集为 A. {}x x |≥1 B. {}x x x |≤>12或 C. {}x x |12≤≤ D. {}x x |12≤< 6. 不等式111+<-x x 的解集是 A. {}3|->x x B. }2234|{< A. ]0,3(- B. R C. ),0()3,(∞+?--∞ D. )0,3(- 对于任意实数x ，不等式||||x x a ++->12恒成立，则 实数a 的取值范围是____________. 9. 不等式11<-x ax 的解集为), 2()1,(∞+?-∞则a 的取值范围是 A. 21>a B. 21 ++bx ax 的解集是??????<<-3121|x x ，则b a -的值是 A. 10- B. 14- C. 10 D. 14 11. 关于x 的不等式012<-++a ax ax 的解集为R ，则a 的 取值范围为 A. )0,(-∞ B. ),34()0,(+∞?-∞ C. ]0,(-∞ D. ),34(]0,(+∞?-∞ 12．设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。 第三章 不等式 一、不等式的基本性质为： ① ；② ； ③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ； ⑦ ；⑧ ； 注意：特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。 二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若0,>b a ，则ab b a ≥+2 （当且仅当b a =时取等号） 基本变形：①≥+b a ；≥+2)2 (b a ；②2_____________222b a b a ab +≤≤≤+ ③若R b a ∈,，则ab b a 222≥+，222)2(2b a b a +≥+；④_________)2 (_______2≤+≤b a 基本应用：①放缩，变形； ②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。 当p ab =（常数），当且仅当 时， ； 当S b a =+（常数），当且仅当 时， ； 常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数)21(4294>-- =x x x y 的最小值 。 ②已知5 10< 等号） 三、绝对值不等式： ≤ ≤ ≤ 注意：?+<+||||||b a b a ； ?+=+||||||b a b a ； ?+<-||||||b a b a ；?+=-||||||b a b a ； ?+<-||||||b a b a ；?+=-||||||b a b a ； ?-<-||||||b a b a ；?-=-||||||b a b a ； 四、常用的基本不等式： （1）设R b a ∈,，则0)(,022≥-≥b a a （当且仅当 时取等号） （2）a a ≥||（当且仅当 时取等号）；a a -≥||（当且仅当 时取等号） （3）若0,0>>b a ，则2233ab b a b a +≥+； （4）若R c b a ∈,,，则ca bc ab c b a ++≥++222 （5）若R c b a ∈,,，则)(3)()(32222c b a c b a ca bc ab ++≤++≤++ （6）柯西不等式：设R b b a a ∈2121,,,，则))(()(2 221222122211b b a a b a b a ++≤+ 注意：可从向量的角度理解：设),(),,(2121b b b a a a ==，则222)(b a b a ≤? （7）b a ab b a 110,>；?R m b a ,0,，若1a b ，则m a m b a b ++>； 五、证明不等式常用方法： （1）比较法：①作差比较：B A B A ≤?≤-0；②作商比较： B A B B A ≥?>≥)0(1 作差比较的步骤： （1）作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。 （2）变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。 （3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。 （2）综合法：由因导果。 解不等式 一. 选择题： 1. 使不等式x x 1> 成立的x 取值范围是（ ） A. )1(∞， B. )1(--∞， C. )1()01(∞-，， D. )1()1(∞--∞，， 2. 不等式11 <-x ax 的解集为}21|{> 基本不等式 .基本不等式 ①公式： -_b ab (a 0,b 0)，常用 a b 2. ab 2 2 ■ 2 2 ②升级版: a b a b ab a,b R 2 2 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版 二?考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则：一正 二定三相等 一正： 指的是注意a,b 范围为正数。 二定： 指的是ab 是定值为常数 三相等：指的是取到最值时 a b 典型例题： 1 例1?求 y x ￡；（x 0）的值域 分 x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处 1 解：y (x ) Q x 0 2x 2x 1 x 2x 得到y ( , &] 1 分析：sinx 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当 y 取到最小值时，sinx 的值是.2，但「2不 在范围内 解：令 t sinx , t (0,1) 是对钩函数，禾U 用图像可知: 2 在(0,1)上是单减函数，所以t 3,(注：3是将t 1代入得到) y (3,) 注意：使用基本不等式时，注意 y 取到最值，x 有没有在范围内， 如果不在，就不能用基本不等式 ，要借助对钩函数图像来求 值域。 例2 ?求y 2x (x 3)的值域 解：y 2x (“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值 ) 2(x 3) 22 即 y 2.2 6, 例3?求 y sin x 2 sin x (0 x )的值域 y t f （p 为常数）型函数，要注意t 的取值范围; 【失误与防范】 1.使用基本不等式求最值，其失误的真正原因 是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视. 要利 用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可. 2 ?在运用重要不等式时， 要特别注意“拆” “拼” “凑” “正” “定” “等”的条件. 3.连续使用公式时取 等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 【题型2】条件是a b 或ab 为定值，求最值（值域）（简） x 2 2x 1 例 4.求 y (x 2）的值域 分析：先换元，令t x 2 ,t 0,其中x 解：y (t 2)2 2(t 2) 1 t 2 6t 1 t Qt 0 [8, 总之：形如y 2 CX ax b dx f (a 0,c 0）的函数，一般可通过换元法等价变形化为 等技巧，使其满足重要不等式中 例5. 0, y 0且x y 18，则xy 的最大值是 解析: 由于 x 0,y 0,则x y 2 xy ，所以2 xy 18，则xy 的最大值为81 例6. 已知 x,y 为正实数，且满足 4x 3y 12，则xy 的最大值为 对数平均不等式 1.定义：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b -- 为对数平均数. 2.几何解释： 反比例函数()()10f x x x =>的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||， MN CD x ||||轴， (),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+?? 处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知， 变形公式： )0.()(2ln ln >≥+-≥-b a b a b a b a 3.典例剖析 对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． （一） ()0ln ln b a b a a b a ->>>-的应用 例1 （2014年陕西）设函数 )1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数． （1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++L 与()n f n -的大小，并加以证明． . （二） ()0ln ln b a b a b a ->>-的应用 例 2 设数列{} n a 的通项n a =，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+． （三） ()02ln ln a b b a b a b a +->>>-的应用 例3. 设数列{}n a 的通项111123n a n =++++L ，证明：()ln 21n a n <+． （四） ()2011ln ln b a b a b a a b ->>>-+的应用 例4. （2010年湖北）已知函数()()0b f x ax c a x =++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．（1）用a 表示出,b c ；（2）（略） （3）证明：()() ()1111ln 11.2321n n n n n ++++>++?+L （五） )0ln ln b a b a b a ->>>-的应用 例5. （2014福建预赛）已知1()ln(1)311f x a x x x =++ +-+． （1）（略） （2）求证：()222223411ln 21411421431414 n n n +++++>+?-?-?-?-L 对一切正整数n 均成立． 强化训练 1. （2012年天津）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0． （1）（2）（略）（3）证明：()()12ln 212*.21 n i n n N i =-+<∈-∑ 2.（2013年新课标Ⅰ）已知函数()()()1ln 11x x f x x x λ+=+-+． 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 不等式 一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>， 则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或 > 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11 a b >。如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 1 1,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ （答：12,2? ?-- ?? ?） 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如 （1）设0,10>≠>t a a 且，比较2 1 log log 21+t t a a 和的大小 不等式及不等式组的应用 整数解问题 ?“最多”、“最少”问题 【例1】在一次爆破中，用1米的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为0.5cm/s，引爆员点着导火索后，至少以每秒_____米的速度才能跑到600m或600m以外的安全区域？ 【例2】一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题得－1分，在这次竞赛中，小明获得优秀(90分或90分以上)则小明至少答对了道题． 【例3】现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排( ) A．4辆B．5辆C．6辆D．7辆 【例4】初中九年级一班几名同学，毕业前合影留念，每人交0.70元，一张彩色底片0.68元，扩印一张照片0.50元，每人分一张，将收来的钱尽量用掉的前提下，这张照片上的同学最少有( ) A．2个B．3个C．4个D．5个 【例5】工程队原计划6天内完成300土方工程，第一天完成60土方，现决定比原计划提前两天超额完成，问后几天每天平均至少要完成多少土方？ 【例6】小华家距离学校2.4千米．某一天小华从家中去上学恰好行走到一半的路程时，发现离到校时间只有12分钟了．如果小华能按时赶到学校，那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少？ 【例7】若干名学生合影留念，需交照像费20元(有两张照片)，如果另外加洗一张照片，又需收费1.5元，要使每人平均出钱不超过4元钱，并都分到一张照片，至少应有几名同学参加照像？ 【例8】某工人9月份计划生产零件180个，前10天每天平均生产6个，后经改进生产技术，提前2天并且超额完成任务，这个工人改进技术后平均每天至少生产零件多少个？ 【例9】八戒去水果店买水果，八戒有45元，买了5斤香蕉，若香蕉每斤3元，西瓜每个8元，请问八戒至多能买几个西瓜？ 【例10】在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初三⑴班同学去栽种．如果每人分2棵，还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵(但至少分得一棵)． ⑴设初三⑴班有x名同学，则这批树苗有多少棵？(用含x的代数式表示)． ⑵初三⑴班至少有多少名同学？最多有多少名 第三章 不等式 一、选择题 1．已知x ≥2 5 ，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )． A ．最大值45 B ．最小值4 5 C ．最大值1 D ．最小值1 2．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221 ＋)(x y 的最小值是( )． A ．3 B ． 2 7 C ．4 D ． 2 9 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ ab 1≥22 B ．(a ＋b )( a 1＋b 1 )≥4 C 22 ≥a ＋b D ． b a ab +2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x x f x f ) ()(－－＜0 的解集为( )． A ．(－1，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1，0)∪(0，1) 5．当0＜x ＜2 π时，函数f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )． A ．2 B ．32 C ．4 D ．34 6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18 B ．6 C ．23 D ．243 7．若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )． A ． 7 3 B ． 37 C ． 43 D ． 34 8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为 自招竞赛 数学讲义 琴生不等式和幂平均不等式 知识定位 不等式问题在高考中较为简单，但是在自招和竞赛中，是非常重要且富于变化的一类问题。在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大华约中，不等式部分通常占10%-15%，其中还会涉及到一些考纲之外的特殊不等式。 本节介绍了琴生不等式以及它的一些简单推论诸如加权琴生和幂平均不等式，希望借助这些补充知识给同学们解决不等式问题提供一个思考的方向。 知识梳理 琴生不等式 1. 凸函数的定义： 设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有 1212()() ( )22 x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()() ()22 x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。 常见的下凸（凸）函数有x y a =，[0,)2 π上的tan y x =，R + 上的2y x =，3y x =等 常见的上凸（凹）函数有[0,)2π上的sin y x =，cos y x =，R + 上的ln y x =等 2. 琴生(Jensen)不等式 若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()() ()n n x x x f x f x f x f n n ++???+++???+≤ 上式等号在12...n x x x ===时取到 反之显然：若()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数，则上式不等号反向 琴生(Jensen)不等式证明（数学归纳）： 1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立； 2）假设n k =时命题成立，即1212()()()( )k k x x x f x f x f x f k k ++???+++???+≤ 那么当1n k =+时，设121 11 k k x x x A k ++++???+=+， 基本不等式 知识点： 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=” ） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11 1 22-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2 a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 ( 当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(2 2 2b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 技巧一：凑项 例 已知5 4x <，求函数1 4245y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例： 当时，求(82)y x x =-的最大值。 变式：设23 0< 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 ().11 812的值域为（）＞、函数x x x y -+= 的最小值为（）为正数，则、若2 22121,2??? ??++???? ? ?+x y y x y x . .211003的最小值是（），则＞，＞、已知ab b a b a ++ .412,,4的最小值，求且、已知b a y b a R b a += =+∈+ .).25(205的最大值为（），则＜＜、已知x x y x -= .,lg lg ,1243,0,06的值的最大值及相应的求且、已知y x y x y x y x ==+>> ().024372的最小值、求>++=x x x x y .)1(1 282的最小值、求>-+=x x x y . 93)2(.111)1(. 3,0,,9222<++≤++=++>z y x z y x z y x z y x 求证：的最小值求、已知 .2 12,210的最大值求函数、已知++ =- 专题：基本不等式 —、知识要点： 1. 基本不等式（均值不等式）： _______________________ 2. 几个重要的不等式： a 2+ b 2^ ______ （a, Z?GR ）；彳+￡$_（“，b 同号）. a~\~b a+b a 2+b 2 ab_ （一^-应，/?eR ）； （-y-）2_—一（a, Z?GR ）. 技巧1：凑系数、拆项、添项 例1 （1）已知OVx<|,求函数y=x （l-3x ）的最大值； （2）求函数y=x+丄的值域. x 练习：1. （2011-fi 庆）若函数；（力=卄士（Q2）在尸“处取最小值，贝lja=（） A. 1+辺 B. 1+羽 C. 3 D. 4 2.已知0<\<1,则A （3-3A ）取得最大值时x 的值为 （） 4 B.1 c.| 4 4 3?求f （x ）=3+lgx+——的最小值（0 6.（2012-杭州模拟）若正实数d, b满足a+b=l,贝％） A.^+|有最大值4 B. ab有最小值扌 C.&+书有最大值迈 D. cr+b1有最小值芈 技巧三：分离系数（分母看作整体，分子向分母看齐） 例3.求>■=工+7"+1°（x>-1）的值域。 X+1 x?—4r +1 练习：7.已知A>0,贝ij y= ----------- ----- 的最小值为 ________ ? 人 8.函数）匸甘Q1）的最小值是（） A. 2羽+ 2 B. 2^3-2 C. 2审 D. 2 例4.若实数x、y满足Y+/+xy= 1,则x+y的最大值是_______________ . 练习：9.若正实数x, y满足2x + y+6 = xy,则xy的最小值是______________ . 10.已知8, b为正实数，2Z>+aZ>+a=30,求函数y=寺的最小值. 应用二：利用均值不等式证明不等式 例6:已知a、b、ce/?+ ,且a+b+c = l。求证：（十一"（十一1注―1卜8 分析:不等式右边数字8 ,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个"2"连乘， yl-l = —= —，可由此变形入手。 a a a a 应用三：均值定理在比较大小中的应用 例8 :若a>h>\,P = JlgalgA e = l（lg? + lg/7）,/? = lg（上学），则P, Q, R的大小关系是____ .专题：基本不等式常见题型归纳(学生版)
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