五年级奥数-数列与数表
五年级奥数-数列与数表 1.计算:(2+5+8+......+194)÷(4+7+ (196) 2.一本600页的书,小明每天都比前一天多读一页,16天刚好读完这本书,那 么他最后一天读了多少页? 3.有一列数,前两个数分别是0和1,从第三个数开始,每一个数都是前两个数 的和:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,……。那么这个数列的第2005个数除以8所得的余数是多少? 4.把自然数按照下列规则排列,那么2008应该排在左起第几列? 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 18 19 20 21 25 24 23 22 26 27 28 29 …… …… 5.观察下面的一列有规律的算式:5+3,7+6,9+9,11+12,……则按照规律第 2008个算式的结果应该是多少?
五年级奥数-数列与数表答案 1.解析: 2,5,8,......,194是以3为公差的等差数列,共有(194-2)÷3+1=64项,则2+5+8+......+194=(2+194)×64÷2=98×64。4,7,10, (196) 每一项都比上面的等差数列中每一项多2,因此4+7+10+……+196=98×64+2×64=100×64。因此原式=98÷100=0.98。 2.解析: 设小明最后一天读了x页,则第一天读了x-15页,由题意可得方程:(x-15+x)×16÷2=600,解得,x=45。 3.解析: 这串除以8所得的余数依次是:0,1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0,1,1,2,……。余数数列从第1个开始,以0、1、1、2、3、5、0、5、5、 2、7、1这12个数为一组依次循环出现的,又2008=12×167+4,所以第2008 个数除以8所得的余数与第4个余数相同,即为2。 4.解析: 观察数列可知,除了前5个数之外,后面的数以8为周期,由2008=8×250=8+8×249,所以2008与8在同一列,即2008在左边第2列。 5.解析: 通过观察可以发现,题目中出现的算式的规律是:每一个算式的第一个加数比上一个算式的第一个加数多2,而每一个算式的第二个加数比上一个算式的第二个加数多3。以此推断,第2008个算式的两个加数分别是5+2×2007和3+3×2007,所以该算式的结果为5+2×2007+3+3×2007=10043。
数列单元测试卷含答案
数列单元测试卷 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置. 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.数列3,5,9,17,33,…的通项公式a n等于() A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2n+1 2.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是() A.1,1 2, 1 3, 1 4,… B.-1,2,-3,4,… C.-1,-1 2,- 1 4,- 1 8,… D.1,2,3,…,n 3..记等差数列的前n项和为S n,若a1=1/2,S4=20,则该数列的公差d=________.() A.2 C.6 D.7 4.在数列{a n}中,a1=2,2a n+1-2a n=1,则a101的值为() A.49 C.51 D.52 5.等差数列{a n}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是() A.90 C.145 D.190 6.公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5=() A.1 C.4 D.8 7.等差数列{a n}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程:x2+(a4+a6)x+10=0()
A .无实根 B.有两个相等实根 C .有两个不等实根 D .不能确定有无实根 8.已知数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,又数列? ?????11+a n 是等差数列,则a 11等于( ) A .0 D .-1 9.等比数列{a n }的通项为a n =2·3n - 1,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个新的数列{b n },那么162是新数列{b n }的( ) A .第5项 B.第12项 C .第13项 D .第6项 10.设数列{a n }是以2为首项,1为公差的等差数列,{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列,则 A .1 033 034 C .2 057 D .2 058 11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且28,171==S a .记[]n n a b lg =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[]09.0=,[]199lg =.则b 11的值为( ) C. 约等于1 12.我们把1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如下图所示: 则第七个三角形数是( ) A .27 C .29 D .30 第II 卷(非选择题) 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
-数列全国卷高考真题教师版
2015-2017年全国卷数列真题 1、(2015全国1卷17题)n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a >0,2 n n a a +=43n S +. (Ⅰ)求{n a }的通项公式; (Ⅱ)设1 1 n n n b a a += 错误!未定义书签。 ,求数列{n b }的前n 项和. 【答案】(Ⅰ)21n +(Ⅱ)11 646 n - + 【解析】 试题分析:(Ⅰ)先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{n a }的递推公式,可以判断数列{n a }是等差数列,利用等差数列的通项公式即可写出数列{n a }的通项公式;(Ⅱ)根据(Ⅰ)数列{n b }的通项公式,再用拆项消去法求其前n 项和. 试题解析:(Ⅰ)当1n =时,2 11112434+3a a S a +=+=,因为0n a >,所以1a =3, 当 2 n ≥时, 2211 n n n n a a a a --+--= 14343 n n S S -+--= 4n a ,即 111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+,因为0n a >,所以1n n a a --=2, 所以数列{n a }是首项为3,公差为2的等差数列, 所以n a =21n +; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,n b = 1111 ()(21)(23)22123 n n n n =-++++, 所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++=1111111 [()()( )]23557 2123 n n -+-+ +-++ = 11 646 n - +. 2、(2015全国2卷4题)已知等比数列{}n a 满足a1=3,135a a a ++ =21,则357a a a ++= ( ) A .21 B.42 C .63 D .84 【解析】设等比数列公比为q ,则24 11121a a q a q ++=,又因为13a =,所以42 60q q +-=,解得2 2q =,所以2 357135()42a a a a a a q ++=++=,故选B. 考点:等比数列通项公式和性质.
四年级奥数找规律数列数表专题
数列与数表 一、知识与方法归纳 1、等差数列的有关知识. (1)通项公式:末项=首项+(项数-1) ×公差 (2)项数=(末项-首项)÷公差+1 (3)求和公式:和=(首项+末项) ×项数÷2 2、本讲主要包括两部分内容:规律较复杂的数列以及简单的数表 二、经典例题 例1.1,100,2,98,3,96,2 ,94,1,92,2 ,90,3 ,88,2,86,1, 84,…,0。请观察数列的规律并回答一下问题: (1)这个数列中有多少项是2? (2)这个数列所有项的总和是多少? 解: 例2. 1,2,3,4, 4, 5, 6, 7,7, 8,9 ,10,…,97, 98, 99, 100.请观察数列的规律并回答一下问题: (1)这个数列一共有多少个数? (2)50在数列中是第几个数? 解: 体验训练1 1, 2, 2, 4, 3, 6, 1, 8, 2, 10, 3, 12,…,100.观察数列的规律,请问:(1)数列中有多少个2? (2)数列中所有数的总和是多少? 解:
例3.有一列数,第一个数是3,第二个数是4,从第三个数开始,每个数都是它前面两个数的和的个位数。从这列数中取出连续的50个数,它们的和最大是多少? 解: 例4. 如图所示,将从5开始的连续自然数按规律填入下面的数阵中,请问: (1)123应该排在第几列? 第1列 第2列 第3列 … (2)第2行、第20列的数是多少? 5 10 15 … 6 11 16 … 7 12 17 … 8 13 18 … 9 14 19 … 解: 体验训练2 将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中,请问: (1)66在第几行、第几列? (2)第33行、第4列的数是多少? 解: *例5.如图所示,将自然数有规律地填入方格表中,请问:
2014 暑假 四年级 精英班 第2讲 数列与数表 教师版
第二讲 数列与数表 知识要点: 数列与数表这一类题目种类繁多,其中数列包括了等差数列、周期数列等,数表中有我们比较常见的三角数表和一些行列数表,这些题目初看比较复杂,但其中都包含了一些规律性的变化,只要认真观察,并将其中的规律找出,那么解决起来就会变得简单许多,通常还会用到余数原理和等差数列相关公式和性质,方便我们找出数列、数表与余数之间的关系。 一、基础应用: 【例1】 有一张纸片,第一次将它撕成6小片,第二次将其中的一张又撕成6小片,以 后每一次都将其中的一小张撕成更小的6片,撕了五次后一共得到多少张纸片? 【解析】 每撕一次,把一张纸片撕成6小片,增加了5张; 撕了六次后一共得到15526+?=张纸片。 【例2】 一列数1,4,7,10,13,…,从第二项起,后项减去它的前面一项的差都 相等,从左往右数,第几个数是196? 【解析】 这是个等差数列,公差是3;从左往右数,第()19613166-÷+=个数是196。 【例3】 计算:6463626160595857565432-++-++-++++-+ 【解析】 6463626160595857565432-++-++-++++-+ ()()()()()646362616059585756765432=-++-++-+++-++-+ ()()121216360576312192021336932 +?=+++ ++=++ +++?=?= 【例4】 有一列数:2、3、6、8、8、……从第三个数开始,每个数都是前两个数 乘积的个位数字,那么这列数的第60个数应是多少? 【解析】 因为从第三个数开始,每个数都是前两个数乘积的个位数字,根据题意将 接下来的数字表示出来,有2、3、6、8、8、4、2、8、6、8、8、……,后面会发现数列具有周期现象,且周期从第三个数字开始为6、8、8、4、2、 8,六个数字为一个周期,根据周期问题, (602)694-÷=……,第60个数为周期内的第4个数字,即为4。 二、拓展训练: 【例5】 由三个数组成的数组按某种规律排成一列:(1,2,3),(2,3,5),(3,4,7),(4,5,9),……,那么其中第几个数组中的各数之和为1234? 【解析】 此题如果由数组中单一一个数去考虑,题目会变得比较复杂,因为问题是
数学教案:数列基础教师版
数列基础知识 一、等差数列与等比数列 等差数列等比数列 文字定义一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与 它的前一项的差是同一个常数,那么这个数列 就叫等差数列,这个常数叫等差数列的公差。 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与 它的前一项的比是同一个常数,那么这个数列 就叫等比数列,这个常数叫等比数列的公比。 符 号定义 1 n n a a d + -= 11 2 n n n a a a+- + = 1(0) n n a q q a +=≠ 2 11 (0) n n n n a a a a +- =?≠ 分类递增数列:0 d> 递减数列:0 d< 常数数列:0 d= 递增数列: 11 01001 a q a q >><<< ,或, 递减数列: 11 01001 a q a q <<><< ,或, 摆动数列:0 q< 常数数列:1 q= 通项 1 (1)() n m a a n d pn q a n m d =+-=+=+- 其中 1 , p d q a d ==- 1 1 n n m n m a a q a q -- ==(0 q≠) 前n 项和 2 1 1 ()(1) 22 n n n a a n n d S na pn qn +- ==+=+ 其中 1 , 22 d d p q a ==- 1 1 (1) (1) 1 (1) n n a q q S q na q ?- ≠ ? =- ? ?= ? 中项 ,,2 a b c b a c =+ 成等差的充要条件:2 ,, a b c b ac = 成等比的必要不充分条件: 主要性质等和性:等差数列{}n a 若m n p q +=+则 m n p q a a a a +=+ 推论:若2 m n p +=则2 m n p a a a += 2 n k n k n a a a +- += 12132 n n n a a a a a a -- +=+=+=??? 即:首尾颠倒相加,则和相等 等积性:等比数列{}n a 若m n p q +=+则 m n p q a a a a ?=? 推论:若2 m n p +=则2 () m n p a a a ?= 2 () n k n k n a a a +- ?= 12132 n n n a a a a a a -- ?=?=?=??? 即:首尾颠倒相乘,则积相等 1、等差数列中连续m项的和,组成的新数列1、等比数列中连续项的和,组成的新数列是
数列与数表(一)
2,100,3,98,5,96,4,94,1,92,2,90,3,88,5,86,4,84,1,…,0。 请观察上面数列的规律,请问: ⑴这个数列有多少项是2? ⑵这个数列所有项的总和是多少? 下面的算式是按规律排列的:5+1,3+4,1+7,5+10,3+13,1+16,…,请观察上面数列的规律。请问:是否存在算式的运算结果是2012?是第几个? 下面是按规律排列的三角形数阵:那么此数阵第2012行左起第三个数是多少? 把正整数依次排成以下数阵:求 ⑴第20行第10列是哪个数? ⑵第10行第20列是哪个数? 数列与数表综合(一) (★★★) (★★★) (★★★) (★★★★)
从1开始的自然数按图所示的规则排列,并用一个正方形框出九个数,能否使这九个数的和等于:⑴2012;⑵2007;⑶2160。 若能,请写出正方形的中心数;若不能,说明理由。 本讲总结 多重数列——拧麻花 数表——行列联合,从问题入手 等差数列家族——差等差 整体考虑;快速判断 时刻要谨慎;细节定成败 重点例题:例1;例3;例5 在线测试题 温馨提示:请在线作答,以便及时反馈孩子的薄弱环节! 1.3,100,4,96,5,92,3,88,4,84,5,…,0请观察上面数列的规律,那么这个数列有( )项是4,所有项的总和是( )。 A.9,1303 B.9,1403 C.10,1303 D.10,1403 2.下面的各算式是按规律排列的:1+1,2+3,3+5,4+7,1+9,2+11,3+13,4+15,1+17,……,那么其中第( )个算式的结果是2008。 A.997 B.1003 C.2005 D.2006 3.如图,从1开始的自然数按某种方式排列起来,那么136在第( )行。 A.14 B.15 C.16 D.17 (★★★★)
高中数学第二章数列数列复习1导学案教师版苏教版必修Word版
必修5 数列复习小结 第1课时 第 19 课时 一、学习目标 (1)进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n 项和公式; (2)提高分析、解决问题能力. 二、知识点总结 (一) 数列的概念 1.数列的概念与简单表示法 (1)从定义角度看: (2)从函数角度看:数列可以看成以正整数集N * 它的有限子集为定义域的函数a n =f(n)当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值. 2.数列的表示 (1)列表法; (2)图象法:注意图象是 ,而不是_______; (3)通项公式: (4)递推公式:如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 3.数列的分类 1)按数列项数的多少可以分为 和 。 2)按数列中相邻两项的大小可分为 、 、 和 . 4.数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系 对任一数列有a n =?? ?≥-=-2 ,1 ,11n S S n S n n (二)等差数列 1.等差数列的定义: 若数列{a n }为等差数列,则有a n -a n-1=d (其中n ≥2,n ∈N * ). 2.等差中项: 3.等差数列的通项公式:a n =a 1+(n-1)d ,其中a 1为首项,d 为公差. 当d >0时,数列{a n }为递增数列;当d <0时,数列{a n }为递减数列;当d =0时,数列{a n }为常数列.
4.等差数列的前n 项和公式: 2)(1n n a a n S += ;d n n na S n 2 ) 1(1-+=. 5.等差数列的性质: (1)等差数列{a n }中,a n -a m =(n -m )d ; (2)等差数列{a n }中,若m+n=p+q (其中m,n,p,q ∈N * ),则a m +a n =a p +a q ;若 m+n=2p ,则a m +a n =2a p ,也称a p 为a m ,a n 的等差中项. (3)等差数列中依次k 项和成等差数列,即 K K K K K S S S S S 232--、、成等差数列,其公差为k q 。 6.已知三个数成等差数列,可设这三个数为___________________ 若四个数成等差数列,可设为_____________________________. 7.等差数列的判定方法: 1)定义法:d a a n n =-+1?{}n a 是等差数列。 2)中项公式法:212+++=n n n a a a (n * N ∈)?{}n a 是等差数列 3) 通项公式法:q pn a n +=?{}n a 是等差数列 4)前n 项和公式法:Bn An S n +=2 (A,B,为常数)?{}n a 是等差数列 (三)等比数列 1.等比数列的定义: 若数列{a n }为等比数列,则有q a a n n =-1 (n ≥2, n ∈N *, q ≠0). 2.等比中项: 3.等比数列的通项公式:若等比数列的首项为a 1,公比为q ,则其通项公式为a n =a 1q n-1 . 4.等比数列的前n 项和公式:若等比数列的首项为a 1,公比为q ,则其前n 项和 ?? ???≠--==)1(,1) 1() 1(,11q q q a q na S n n . 5.等比数列的性质:若等比数列的首项为a 1,公比为q ,则有: (1)a n =a m q n-m ;
四年级第十七讲-数列与数表教师版
第17讲数列与数表 内容概述 通过观察数列或数表中的已知数据,发现规律并进行填补与计算的问题,注意数表形式的多样性,计算时常常考虑周期性,或进行合理估算. 典型问题 兴趣篇 1.1,1,4,2,7,3,10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3,…,100.请观察上面数列的规律,问:(1)这个数列一共有多少项? (2)这个数列所有数的总和是多少? 答案:67;1783 解析:间隔是是等差数列。 2.观察数组(1,2,3),(3,4,5),(5,6,7),(7,8,9)的规律,求: (1)第20组中三个数的和; (2)前20组中所有数的和. 答案:120;1260 解析:(39,40,42),运用等差数列求和公式。 3.一个数列的第一项是l,之后的每一项是这样得到的:如果前一项是一位数,接着的一项就等于前一项的两倍;如果前一项是两位数,接着的一项就等于前一项个位数字的两倍.请问: (1)第100项是多少? (2)前100项的和是多少? 答案:8;975 解析:按规律写:1,2,4,8,16,12,4,8,16,12……四个数为一个周期 4. 如图17-1,方格表中的数是按照一定规律填人的.请观察方格表,并填出“?”处的数. 答案:105 解析:四周数的差是一个等差数列。 5.如图17-2,数阵中的数是按一定规律排列的,请问: (1)100在第几行、第几列?
(2)第20行第3列的数是多少? 答案:(1)第25行第6列;(2)79 解析:两行为一个周期。观察除以8的余数与在第几列之间的关系。 6.如图17-3,从4开始的自然数是按某种规律排列的,请问: (1)100在第几行,第几列? (2)第5行第20列的数是多少? 答案:(1)第1第25列;(2)81 解析:两列为一个周期。 7. 如图17-4所示,把偶数2、4、6、8,排成5列.各列从左到右依次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列,请问: (1)100在第几行,第几列? (2)第20行第2列的数是多少? 答案:(1)第15行第2列;(2)138 解析:八个数为一个周期,可以把每个数先除以2转化成简单数列。 8.如图17-5,从1开始的自然数按某种方式排列起来,请问: (1)100在第几行?100是这一行左起第几个数? (2)第25行左起第5个数是多少? 答案:(1)第14行左起第9个数;(2)321 解析:观察1,6,15…这样的数都是1加到行数之和。 3,10也是1一直加到行数之和。 9. 如图17-6,把从1开始的自然数排成数阵.试问:能否在数阵中放人一个3×3的方框,使得它围住的九个数之和等于: (1)1997;(2)2016;(3)2349. 如果可以,请写出方框中最大的数. 答案:只有2349是可以的,最大为269.
二项式与数列-教师版
1.求证:)12(1 1 C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n n n n n n n Λ. 【答案】 )!()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-?+=+11C 1 1)!()!1()!1(11+++=-++?+=k n n k n k n n . ∴左边1 12111C 11C 11C 11++++++++++= n n n n n n n Λ =-+=++++=+++++)12(1 1)C C (C 111112111n n n n n n n Λ右边. 2.证明下列各式 (1)1+21 n C +42 n C + … +1 12 n n n C --+2n n n C =3n ; (2)(0 n C )2+(1n C )2+ … +(n n C )2=2n n C ; (3)1 n C +22 n C +33 n C + … +n n n C =1 2 n n -. 【答案】(1)在二项展开式(a +b )n =0 n C a n +1 n C a n -1b +2 n C a n-2b 2+ … +1 n n C -ab n -1+n n C b n 中, 令a =1,b =2,得(1+2)n =1+21 n C +42 n C + … +2n -11 n n C -+2n n n C ,即 1+21 n C +42 n C + … +2n -11 n n C -+2n n n C =3n . (2)(1+x )n (1+x )n =(1+x )2n , ∴(1+1 n C x +2 n C x 2+ … +r n C x r + … +x n )(1+1 n C x +2 n C x 2+ … +r n C x r + … +x n )=(1+x )2n . 而2n n C 是(1+x )2n 的展开式中x n 的系数,由多项式的恒等定理,得 0n C n n C +1n C 1n n C -+ … +1n C 1n n C -+C n n 0n C =2n n C . ∵m n C =n m n C -,0≤m ≤n , ∴(0 n C )2+(1 n C )2+ … +(n n C )2=2n n C . (3)证法一:令S =1 n C +22 n C +3C 3n + … +n n n C . ① 令S =1 n C +22 n C + … +(n -1)1 n n C -+n n n C =n n n C +(n -1)1 n n C -+ … +22 n C +1 n C =n n n C +(n -1)1 n C + … +22 n n C -+1 n n C -. ② 由①+②得2S =n 1 n C +n 2 n C +n 3 n C + … +n n n C =n (n n C +1 n C +2 n C +3 n C + … +n n C )
《数列的概念》单元测试题 百度文库
一、数列的概念选择题 1.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为( ) A .174 B .184 C .188 D .160 2.在数列{}n a 中,11a =,11n n a a n +=++,设数列1n a ?? ? ??? 的前n 项和为n S ,若n S m <对一切正整数n 恒成立,则实数m 的取值范围为( ) A .()3,+∞ B .[ )3,+∞ C .()2,+∞ D .[)2,+∞ 3.设{}n a 是等差数列,且公差不为零,其前n 项和为n S .则“*n N ?∈,1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 4.数列{}n a 满足()1 1121n n n a a n ++=-+-,则数列{}n a 的前48项和为( ) A .1006 B .1176 C .1228 D .2368 5.已知数列{}n a 的前n 项和为( )* 22n n S n =+∈N ,则3 a =( ) A .10 B .8 C .6 D .4 6.数列23451,,,,,3579 的一个通项公式n a 是( ) A . 21n n + B . 23 n n + C . 23 n n - D . 21 n n - 7.在数列{}n a 中,已知11a =,25a =,() * 21n n n a a a n N ++=-∈,则5a 等于( ) A .4- B .5- C .4 D .5 8.删去正整数1,2,3,4,5,…中的所有完全平方数与立方数(如4,8),得到一个新数列,则这个数列的第2020项是( ) A .2072 B .2073 C .2074 D .2075 9.3……,则 ) A .第8项 B .第9项 C .第10项 D .第11项 10.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”现
数学高二(上)沪教版(数列的极限(三))教师版
(32n + -)n =5,求常数
变式练习:若3lim 2103n n an b n n →∞ ??---= ? +?? =5,求常数a 、b 、的值。 11 ,39a b ==- 例3、设无穷等比数列{}n a 满足135218 lim()3 n n a a a a -→∞ +++ +=,求首项1a 的取值围。 解:2 112 88,01,0,133a q a q ??=<<∴∈ ?-?? 。 变式练习:在等比数列中,a 1>1,前项和S n 满足1 1 lim n n S a →∞ = ,那么a 1的取值围是……………………( ) (A )(1,+∞) (B )(1,4) (C )(1,2) (D )(1,2) 例4、以正方形ABCD 的四个顶点为圆心,以正方形的边长a 为半径,在正方形画弧,得四个交点1111,,,A B C D ,再在正方形1111A B C D 用同样的方法得到又一个正方形2222A B C D ,这样无限的继续下去,求所有这些正方形的面积之和(包括正方形ABCD ). 解:(提示)2 2 1(31),23,2 n a a a q S +==-= 变式练习:设T 1,T 2,T 3……为一组多边形,其作法如下: T 1是边长为1的三角形以T n 的每一边中间 3 1 的线段为一边向外作正三角形,然后将该1/3线段抹去所得的多边形为T n+1,如图所示。令a n 表示T n 的周长,A(T n )表示T n 的面积。 (Ⅰ)计算T 1,T 2,T 3的面积A(T 1),A(T 2),A(T 3) (Ⅱ)求∞ →n lim ( 11a +21a …+n a 1)的值。 解:(Ⅰ)A(T 1)= 1 2 ·1·1·sin60°=34 A(T 2)=3· 12·13·13·sin60°++A(T 1)=4312=33 A(T 3)=12·12·19·19·sin60°+A(T 2)=10 327 (Ⅱ)由分析知 a n = 43a n-1(T n 的边数是T n-1边数的4倍且每边是原来的1/4)故 a n =3·(43)n-1∵1n a =13·(4 3 )n-1
六年级奥数优胜教育第2讲:数列与数表含答案
第二讲数列与数表 例1:有一个数列:4、7、10、13、…、25,这个数列共有多少项? 例2:有一等差数列:2,7,12,17,…,这个等差数列的第100项是多少? 例3:计算2+4+6+8+…+1990的和。 例4:计算(1+3+5+...+l99l)-(2+4+6+ (1990) 例5:已知一列数:2,5,8,11,14,…,80,…,求80是这列数中第几个数。 例6:小王看一本书第一天看了20页,以后每天都比前一天多看2页,第30天看了78页正好看完。这本书共有多少页? 例7:建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。 例8:四(1)班45位同学举行一次同学联欢会,同学们在一起一一握手,且每两个人只能握一次手,同学们共握了多少次手? A
1.有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。 2.求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。 3.计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。 4.计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002) 5.有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。 B 6.一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少? 7.计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。 8.文丽学英语单词,第一天学会了3个,以后每天都比前一天多学会1个,最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了多少个英语单词? 9.李师傅做一批零件,第一天做了25 个,以后每天都比前一天多做2个,第20天做了63个正好做完。这批零件共有多少个? 10.有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次? C 11.一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。一共有多少根圆木? 12.用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形,按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒? 13.有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了? 14.学校进行书法大赛,每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有16人参加比赛,一共要进行多少场比赛? 15.在一次元旦晚会上,一共有48位同学和5位老师,每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手?
数列单元测试卷-含答案
。 数列单元测试卷 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置. 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.数列3,5,9,17,33,…的通项公式a n等于( ) A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2n+1 。 2.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( ) A.1,1 2 , 1 3 , 1 4 ,… B.-1,2,-3,4,… C.-1,-1 2 ,- 1 4 ,- 1 8 ,… D.1,2,3,…,n 3..记等差数列的前n项和为S n,若a1=1/2,S4=20,则该数列的公差d=________.( )¥ A.2 C.6 D.7 4.在数列{a n}中,a1=2,2a n+1-2a n=1,则a101的值为( ) A.49 C.51 D.52 5.等差数列{a n}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是( ) A.90 C.145 D.190 …
6.公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则a 5=( ) A .1 C .4 D .8 7.等差数列{a n }中,a 2+a 5+a 8=9,那么关于x 的方程:x 2 +(a 4+a 6)x +10=0( ) A .无实根 B.有两个相等实根 C .有两个不等实根 D .不能确定有无实根 8.已知数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,又数列?? ?? ?? 11+a n 是等差数列,则a 11等于( ) : A .0 D .-1 9.等比数列{a n }的通项为a n =2·3 n -1 ,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个新的 数列{b n },那么162是新数列{b n }的( ) A .第5项 B.第12项 C .第13项 D .第6项 10.设数列{a n }是以2为首项,1为公差的等差数列,{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列,则 A .1 033 034 C .2 057 D .2 058 《 11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且28,171==S a .记[]n n a b lg =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[]09.0=,[]199lg =.则b 11的值为( ) C. 约等于1 12.我们把1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如下图所示: 则第七个三角形数是( ) A .27 C .29 D .30 <
等比数列专题(教师版)
等比数列专题复习 (一)知识归纳: 1.概念与公式: 1°定义 2°.通项公式: 3°.前n 项和公式 2.中项定理与下标和定理 (1)中项定理: (2)下标和定理: (3)前n 项积定理:记n n a a a a T ?????=321 则=-12n T 则=n T 2 3.等比数列的“灵活设元: 4、前n 项和n S 的性质: (1) (2) (3) 例题与练习 一、基本量计算 例1.在等比数列{a n }中,已知S 30=13S 10,S 10+S 30=140,求S 20的值. 解 ∵S 30≠3S 10,∴q ≠1. 由??? S 30=13S 10S 10+S 30=140,∴??? S 10=10S 30 =130, ∴? ???? a 11-q 10 1-q =10 a 1 1-q 30 1-q =130 , ∴q 20+q 10-12=0. ∴q 10=3, ∴S 20=a 11-q 20 1-q =S 10(1+q 10)=10×(1+3)=40. 练习: 1.在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3,前3项和为21,则a 3+a 4+a 5等于( C ) A .33 B .72 C .84 D .189 2.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列,则{a n }的公比为____.1 3 ____.
3.已知{a n }是等比数列,a 2=2,a 5=1 4 ,则a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1等于 ( C ) A .16(1-4-n ) B .16(1-2-n ) C.323(1-4-n ) D.32 3 (1-2-n ) 4、若等比数列{a n }中,a 1=1,a n =-512,前n 项和为S n =-341,则n 的值是__10______. 5.已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列{1 a n }的前5项和为 (C) A.15 8 和5 B.31 16 和5 C.31 16 D.158 6、一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗? 解 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度,由题意, 得a n +1=4 5 a n , 因此,数列{a n }是首项a 1=25,公比q =4 5的等比数列. 热气球在前n 分钟内上升的总高度为 S n =a 1+a 2+…+a n =a 11-q n 1-q = 25×???? ? ?1-? ????45n 1-45 =125×???? ?? 1-? ????45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 4.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 2=6,6a 1+a 3=30,求a n 和S n . 解 当a 1=3,q =2时,a n =3×2n -1, S n =a 11-q n 1-q =31-2n 1-2 =3(2n -1); 当a 1=2,q =3时,a n =2×3n -1, S n =a 11-q n 1-q =21-3n 1-3 =3n -1. 二、中项定理和下标和定理 例.已知等比数列{a n },若a 1+a 2+a 3=7,a 1a 2a 3=8,求a n . 解 由等比数列的定义知a 2=a 1q ,a 3=a 1q 2代入已知得, ??? a 1+a 1q +a 1q 2 =7 a 1·a 1q ·a 1q 2 =8 , 即??? a 11+q +q 2 =7, a 31q 3 =8,