2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数 学(文史类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。 参考公式:
·如果事件A ,B 互斥,那么()()()P A B P A P B =+U .
·圆柱的体积公式V Sh =,其中S 表示圆柱的底面面积,h 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式1
3
V Sh =
,其中S 表示棱锥的底面面积,h 表示棱锥的高. 一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈ (A ){2} (B ){2,3} (C ){-1,2,3} (D ){1,2,3,4} (2)设变量x ,y 满足约束条件20,20,1,1, x y x y x y +-≤??-+≥? ?-??-?……则目标函数4z x y =-+的最大值为 (A )2 (B )3 (C )5 (D )6 (3)设x ∈R ,则“05x <<”是“|1|1x -<”的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 (4)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为 (A )5 (B )8 (C )24 (D )29 (5)已知0.2 23log 7,log 8,0.3a b c ===,则a ,b ,c 的大小关系为 (A )c b a << (B )a b c << (c )b c a << (D )c a b << (6)已知抛物线2 4y x =的焦点为F ,准线为l .若l 与双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别 交于点A 和点B ,且||4||AB OF =(O 为原点),则双曲线的离心率为 (A (B (C )2 (D (7)已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ω?ω?=+>><是奇函数,且()f x 的最小正周期为π,将 ()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为()g x . 若π4g ??= ???3π8f ?? = ??? (A )-2 (B ) (C (D )2 (8) 已知函数01, ()1, 1.x f x x x ?≤≤? =?>??若关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解, 则a 的取值范围为 (A )59,44 ?????? (B )59,44?? ??? (C )59,{1}44?? ???U (D )59,{1}44 ?????? U 2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学(文史类) 第Ⅱ卷 注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共12小题,共110分。 二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. (9)i 是虚数单位,则 5i 1i -+的值为__________. (10)设x ∈R ,使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为__________. (11)曲线cos 2 x y x =- 在点(0,1)处的切线方程为__________. (12若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四 条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为__________. (13)设0,0,24x y x y >>+=,则(1)(21) x y xy ++的最小值为__________. (14)在四边形ABCD 中,, 5,30AD BC AB AD A ==∠=?∥, 点E 在线段CB 的延长线上,且AE BE =,则BD AE ?=u u u r u u u r __________. 三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分13分) 2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况. (Ⅰ)应从老、中、青员工中分别抽取多少人? (Ⅱ)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为, , , , , A B C D E F .享受情况如下表,其中“ ○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访. (i (ii )设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M 发生的概率. (16)(本小题满分13分) 在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=,3sin 4sin c B a C =. (Ⅰ)求cos B 的值; (Ⅱ)求sin 26πB ? ?+ ?? ?的值. (17)(本小题满分13分) 如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,PCD △为等边三角形, 平面PAC ⊥平面PCD ,,2,3PA CD CD AD ⊥==. (Ⅰ)设G ,H 分别为PB ,AC 的中点,求证:GH ∥平面PAD ; (Ⅱ)求证:PA ⊥平面PCD ; (Ⅲ)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值. (18)(本小题满分13分) 设{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,公比大于0,已知1123323,,43a b b a b a ====+. (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (Ⅱ)设数列{}n c 满足2 1n n n c b n ??=???,为奇数,,为偶数.求* 112222()n n a c a c a c n +++∈N L . (19)(本小题满分14分) 设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,左顶点为A ,上顶点为B . |2||OA OB =(O 为原点). (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设经过点F 且斜率为 3 4 的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ,圆C 同时与x 轴和直线l 相切,圆心C 在直线x =4上,且OC AP ∥,求椭圆的方程. (20)(本小题满分14分) 设函数()ln (1)e x f x x a x =--,其中a ∈R . (Ⅰ)若a ≤0,讨论()f x 的单调性; (Ⅱ)若10e a << , (i )证明()f x 恰有两个零点; (ii )设0x 为()f x 的极值点,1x 为()f x 的零点,且10x x >,证明0132x x ->. 2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学(文史类)参考解答 一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分40分. (1)D (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)D 二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分30分. (9 (10)21,3??- ??? (11)+2 2=0x y - (12) 4π (13) 9 2 (14)1- 三.解答题 (15)本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式 等基本知识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分. 解:(Ⅰ)由已知,老、中、青员工人数之比为6 : 9 : 10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人. (Ⅱ)(i )从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为 {, },{, },{, },{, },{, },{, },A B A C A D A E A F B C {, },{, },{, },{, {,}},,B D B E B F C D C E {,},C F {,},{,},{,}D E D F E F ,共15种. (ii )由表格知,符合题意的所有可能结果为 {, },{, },{, },{, },{, },{, },{, {,},{,},{,},{,},}A B A D A E A F B D B C E B F E C F D F E F ,共11种. 所以,事件M 发生的概率11 ()15 P M = . (16)本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正 弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.满分13分. (Ⅰ)解:在ABC △中,由正弦定理 sin sin b c B C = ,得sin sin b C c B =,又由3sin 4sin c B a C =,得3sin 4sin b C a C =,即34b a =.又因为2b c a +=,得到43b a =,2 3 c a =.由余弦定理可得 2 22222416199cos 22423 a a a a c b B a c a a +-+-===-??. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可 得sin B == ,从 而sin 22sin cos B B B ==,227 cos 2cos sin 8 B B B =-=-,故 71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ? ?+=+=-?= ?? ?. (17)本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础 知识.考查空间想象能力和推理论证能力.满分13分. (Ⅰ)证明:连接BD ,易知AC BD H =I ,BH DH =.又由BG=PG ,故GH PD ∥.又因为GH ?平面PAD ,PD ?平面PAD ,所以GH ∥平面PAD . (Ⅱ)证明:取棱PC 的中点N ,连接DN .依题意,得DN ⊥PC ,又因为平面PAC ⊥平面PCD ,平面PAC I 平 面PCD PC =,所以DN ⊥平面PAC ,又PA ?平面PAC ,故DN PA ⊥.又已知PA CD ⊥, CD DN D =I ,所以PA ⊥平面PCD . (Ⅲ)解:连接AN ,由(Ⅱ)中DN ⊥平面PAC ,可知DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角, 因为PCD △为等边三角形,CD =2且N 为PC 的中点,所以DN =又DN AN ⊥, 在Rt AND △ 中,sin 3 DN DAN AD ∠= = 所以,直线AD 与平面PAC . (18)本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识,考查数列求和的基 本方法和运算求解能力.满分13分. (Ⅰ)解:设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q .依题意,得2 332,3154,q d q d =+??=+?解得3, 3, d q =??=?故133(1)3, 333n n n n a n n b -=+-==?=. 所以,{}n a 的通项公式为3n a n =,{}n b 的通项公式为3n n b =. (Ⅱ)解:112222n n a c a c a c +++L ()()135212142632n n n a a a a a b a b a b a b -=+++++++++L L 123(1)36(6312318363)2n n n n n -? ?=?+?+?+?+?++????? L ()2123613233n n n =+?+?++?L . 记1213233n n T n =?+?++?L ,① n 则231 313233n n T n +=?+?++?L ,② ②?①得,()1231 1 313(21)33 23333 3 133 2 n n n n n n n T n n +++--+=---?=- +?= --+-L . 所以,12 2 112222(21)33 36332n n n n n a c a c a c n T n +-++++=+=+?L ()22(21)369 2 n n n n +*-++=∈N . (19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲 线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.满分14分. (Ⅰ)解:设椭圆的半焦距为c 2b =,又由222a b c =+,消去b 得2 2 2 a c ?=+?? ?? ,解得 12 c a =. 所以,椭圆的离心率为 12 . (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,2,a c b ==,故椭圆方程为22 22143x y c c +=.由题意,(, 0)F c -,则直线l 的 方程为3()4y x c =+ 点P 的坐标满足22 221,433(), 4 x y c c y x c ?+=????=+??消去y 并化简,得到22 76130x cx c +-=,解得 1213,7c x c x ==-.代入到l 的方程,解得1239,214y c y c ==-.因为点P 在x 轴上方,所以3,2P c c ?? ??? .由圆心C 在直线4x =上,可设(4, )C t .因为OC AP ∥,且由(Ⅰ)知( 2 , 0)A c -,故3242c t c c =+,解得2t =.因为圆C 与x 轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C 与l 2=,可得=2c . 所以,椭圆的方程为 22 11612 x y +=. (20)本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思 想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.满分14分. (Ⅰ)解:由已知,()f x 的定义域为(0,)+∞,且 211e ()e (1)e x x x f ax x a a x x x -??=-+-=?'?. 因此当a ≤0时,21e 0x ax ->,从而()0f x '>,所以()f x 在(0,)+∞内单调递增. (Ⅱ)证明:(i )由(Ⅰ)知21e ()x ax f x x -'=.令2()1e x g x ax =-,由10e a <<, 可知()g x 在(0,)+∞内单调递减,又(1)1e 0g a =->,且 22 1111ln 1ln 1ln 0g a a a a a ?????? =-=-< ? ? ??????? . 故()0g x =在(0,)+∞内有唯一解,从而()0f x '=在(0,)+∞内有唯一解,不妨设为0x ,则01 1ln x a <<.当()00,x x ∈时,()0()()0g x g x f x x x '= >=,所以()f x 在()00,x 内单调递增;当()0,x x ∈+∞时,()0()()0g x g x f x x x '= <=,所以()f x 在()0,x +∞内单调递减,因此0x 是()f x 的唯一极值点. 令()ln 1h x x x =-+,则当1x >时,1 ()10h'x x = -<,故()h x 在(1,)+∞内单调递减,从而当1x >时,()(1)0h x h <=,所以ln 1x x <-.从而 ln 1 111111ln ln ln ln 1e ln ln ln 1ln 0a f a h a a a a a a ?????? =--=-+=< ? ? ??????? , 又因为()0(1)0f x f >=,所以()f x 在0(,)x +∞内有唯零点.又()f x 在()00,x 内有唯一零点1,从而, ()f x 在(0,)+∞内恰有两个零点. (ii )由题意,()()010,0,f x f x '=???=??即()01201 1e 1,ln e ,1x x ax x a x ?=??=-??从而1011201ln e x x x x x --=,即10 2 011ln e 1x x x x x -=-.因为当1x >时,ln 1x x <-,又101x x >>,故()10 2 012011e 1 x x x x x x --<=-,两边取对数,得1020ln e ln x x x -<,于是 ()10002ln 21x x x x -<<-, 整理得013 2x x ->.