选修4系列
N1选修4-1 几何证明选讲
图1-6
22.N1[20132新课标全国卷Ⅰ] 选修4-1:几何证明选讲如图1-6所示,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.
(1)证明:DB=DC;
(2)设圆的半径为1,BC=3,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.
22.解:(1)证明:联结DE,交BC于点G.
由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.
而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.
又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°,
由勾股定理可得DB=DC.
(2)由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,
故DG是BC的中垂线,所以BG=
3
2
.
设DE的中点为O,联结BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,
所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于
3
2
.
15.N1[20132广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1-3所示,AB是圆O的直径,点C 在圆O上,延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,则BC=________.
图1-3
15.2 3 [解析] 由题知∠ACB=90°,又BC=CD,
∴AD=AB=6,∠BAC=∠CAE,∴AE=AD-ED=4.
∵CE为切线,∴∠ACE=∠ABC.
∴∠ACE+∠CAE=∠ABC+∠BAC=90°.
在△ACD中,∠ACD=90°,CE⊥AD,
∴CD2=ED2DA=12,解得CD=2 3,故BC=2 3.
图1-5
15.N1[20132湖北卷] (选修4-1:几何证明选讲)
如图1-5所示,圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ,点D 在半径OC 上的射影为E.若AB =3AD ,则CE
EO
的值为________.
15.8 [解析] 设AB =6k ,则AD =2k ,DO =k ,CO =3k ,设EO =x ,由射影定理:DO 2
=EO2CO,k 2
=x23k,x =k 3,故CE EO =3k -
k 3k
3
=
8.
图1-3
11.N1[20132湖南卷] 如图1-2所示,在半径为7的⊙O 中,弦AB ,CD 相交于点P.PA =PB =2,PD =1,则圆心O 到弦CD 的距离为________.
11.
3
2
[解析] 由相交弦定理可知PA2PB=PC2PD,得PC =4,故弦CD =5,又半径r =7,记圆心O 到直线CD 的距离为d ,则d 2
+? ??
??522=7,即d 2
=34,故d =32.
21.N1[20132江苏卷] A .[选修4-1:几何证明选讲]
如图1-1所示,AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C ,AC 经过圆心O ,且BC =2OC. 求证:AC =
2AD.
图1-1
证明:联结OD ,因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C , 所以∠ADO=∠ACB=90°.
又因为∠A=∠A,所以Rt △ADO ∽Rt △ACB , 所以BC OD =AC AD
.
又BC =2OC =2OD. 故AC =2AD.
11.N1[20132北京卷] 如图1-2,AB 为圆O 的直径,PA 为圆O 的切线,PB 与圆O 相交于D ,若PA =3,PD∶DB=9∶16,则PD =________,AB =________.
图1-2
11.9
5 4 [解析] 由于PD∶DB=9∶16,设PD =9a ,则DB =16a ,PB =25a ,根据切割线定理有PA 2=PD2PB,∴a=15,∴PD=95,PB =5.又∵△PBA 为直角三角形,∴AB 2+AP 2=PB 2
,
∴AB=4.
22.N1[20132辽宁卷] 选修4-1:几何证明选讲
如图,AB 为⊙O 的直径,直线CD 与⊙O 相切于E ,AD 垂直CD 于D ,BC 垂直CD 于C ,EF 垂直AB 于F ,联结AE ,BE.证明:
(1)∠FEB=∠CEB;
(2)EF 2
=AD2BC.
图1-8
22.证明:(1)由直线CD 与⊙O 相切,得∠CEB=∠EAB. 由AB 为⊙O 的直径,得AE⊥EB,从而∠EAB+∠EBF=π
2.
又EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=π
2
,
从而∠FEB=∠EAB. 故∠FEB=∠CEB.
(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE 是公共边, 得Rt △BCE ≌Rt △BFE ,所以BC =BF.
类似可证,Rt △ADE ≌Rt △AFE ,得AD =AF.
又在Rt △AEB 中,EF⊥AB,故EF 2
=AF2BF,
所以EF 2
=AD2BC. N1[20132陕西卷]
B .(几何证明选做题)如图1-4,弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ,过E 作B
C 的平行线与A
D 的延长线相交于点P ,已知PD =2DA =2,则P
E =________.
图1-4
6 [解析] 利用已知可得,∠BCE=∠PED=∠BAP,可得△PDE∽△PEA,可得PE PA =PD
PE ,
而PD =2DA =2,则PA =3,则PE 2
=PA2PD=6,PE = 6.
15.C8,E8,N1[20132四川卷] 设P 1,P 2,…,P n 为平面α内的n 个点,在平面α内的所有点中,若点P 到P 1,P 2,…,P n 点的距离之和最小,则称点P 为P 1,P 2,…,P n 点的一个“中位点”.例如,线段AB 上的任意点都是端点A ,B 的中位点.则有下列命题:
①若A ,B ,C 三个点共线,C 在线段AB 上,则C 是A ,B ,C 的中位点; ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点A ,B ,C ,D 共线,则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号)
15.①④ [解析] 对于①,如果中位点不在直线AB 上,由三角形两边之和大于第三边可知与题意矛盾.而当中位点在直线AB 上时,如果不与C 重合,则|PA|+|PB|+|PC|>|PA|+|PB|也不符合题意,故C 为唯一的中位点,①正确;
对于②,我们取斜边长为4的等腰直角三角形,此时,斜边中点到三个顶点的距离均为2,和为6;而我们取斜边上中线的中点,该点到直角顶点的距离为1,到两底角顶点的距离均为5,显然2 5+1<6,故该直角三角形的斜边中点不是中位点,②错误;
对于③,当A ,B ,C ,D 四点共线时,不妨设他们的顺序就是A ,B ,C ,D ,则当点P 在B ,C 之间运动时,点P 到A ,B ,C ,D 四点的距离之和相等且最小,即这个时候的中位点有无穷多个,③错误;
对于④,同样根据三角形两边之和大于第三边的性质,如果中位点不在对角线的交点上,则距离之和肯定不是最小的,④正确.
13.N1[20132天津卷] 如图1-2所示,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且BD∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ,AD 与BC 交于点F ,若AB =AC ,AE =6,BD =5,则线段CF 的长为________.
图1-2
13.83 [解析] 由切割线定理可得EA 2
=EB2ED,有EB =4,ED =9. 因为AB =AC ,所以∠ABC=∠C=∠ADB,
由弦切角定理可得∠EAB=∠ADB,所以∠EAB=∠ABC,故AE∥BC.又BD∥AC, 所以四边形AEBC 是平行四边形,可得BC =AE =6,又由平行线分线段成比例定理可得BF
AE =
BD DE ,因为AE =6,所以BF =103,故CF =BC -BF =83
. 22.N1[20132新课标全国卷Ⅱ] 选修4-1:几何证明选讲:
如图1-5,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D ,E ,F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且BC2AE=DC2AF,B ,E ,F ,C 四点共圆.
(1)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径;
(2)若DB =BE =EA ,求过B ,E ,F ,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.
图1-5
22.解:(1)证明:因为CD 为△ABC 外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知BC FA =DC
EA
,
故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因为B ,E ,F ,C 四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.所以∠CBA=90°,因此CA 是△ABC 外接圆的直径.
(2)联结CE ,因为∠CBE=90°,所以过B ,E ,F ,C 四点的圆的直径为CE ,由DB =BE ,
有CE =DC ,又BC 2=DB 2BA =2DB 2,所以CA 2=4DB 2+BC 2=6DB 2
.
而DC 2=DB2DA=3DB 2
,故过B ,E ,F ,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12
.
1-6
14.N1[20132重庆卷] 如图1-6所示,在△AB C 中,∠C=90°,∠A=60°,AB =20,过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ,BD⊥CD,BD 与外接圆交于点E ,则DE 的长为________.
14.5 [解析] 联结CE.由弦切角定理知∠BCD=∠A=60°,所以在Rt △BCD 中,∠CBD =30°.又在Rt △ABC 中,∠ABC=30°,AC =1
2AB =10,所以CE =AC =10.在Rt △CDE 中,∠DCE
=30°,故DE =1
2
CE =5.
N2 选修4-2 矩阵
21.[20132福建卷] N2(Ⅰ)选修4-2:矩阵与变换
已知直线l :ax +y =1在矩阵A =错误!)对应的变换作用下变为直线l′:x +by =1. (1)求实数a ,b 的值;
(2)若点P(x 0,y 0)在直线l 上,且A ? ????x 0y 0)=? ??
??
x 0y 0),求点P 的坐标.
(Ⅰ)解:(1)设直线l :ax +y =1上任意点M(x ,y)在矩阵A 对应的变换作用下的像是M′(x′,y′).
由? ??
??
x′y′)=错误!))错误!)=错误!),得错误! 又点M ′(x′,y′)在l′上,所以x′+by′=1, 即x +(b +2)y =1.
依题意得?????a =1,b +2=1,解得?
????a =1,
b =-1.
(2)由A ? ????x 0y 0)=? ????
x 0y 0),得?
????x 0=x 0+2y 0,y 0=y 0,解得y 0=0.
又点P(x 0,y 0)在直线l 上,所以x 0=1.
故点P 的坐标为(1,0). N2[20132江苏卷]
B .[选修4-2:矩阵与变换]
已知矩阵A =-1,0) 0,2),B =1,0) 2,6),求矩阵A -1
B . 解:设矩阵A 的逆矩阵为a,c) b,d), 则-1,0) 0,2)a,c) b,d)=1,0) 0,1). 即-a,2c) -b,2d)=1,0) 0,1), 故a =-1,b =0,c =0,d =1
2
,
从而A 的逆矩阵为A
-1
=????
??-1 0 0,1
2
))).
所以A
-1
B =????
??-1 0 0,1
2
)))1,0) 2,6)=-1,0) -2,3).
2.N2,N3[20132浙江卷] 已知a∈R “矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块
(1)以极坐标系Ox 的极点O 为原点,极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ,并
在两种坐标系中取相同的长度单位.把极坐标方程cos θ+ρ2
sin θ=1化成直角坐标方程.
(2)在直角坐标系xOy 中,曲线C :???x =2cos θ,
y =sin θ
(θ为参数),过点P(2,1)的直线与
曲线C 交于A ,B 两点.若|PA|2|PB|=8
3
,求|AB|的值.
2.解:(1)极坐标方程两边同乘以ρ得ρcos θ+ρ3
sin θ=ρ.
又在直角坐标系下,ρcos θ=x ,ρsin θ=y ,ρ2=x 2+y 2
, 故化成直角坐标方程为x +y(x 2
+y 2
)=x 2
+y 2
. 又(0,0)满足原极坐标方程.
故所求的直角坐标方程为x +y(x 2
+y 2
)=x 2
+y 2
.
(2)由题意,曲线C 的直角坐标方程为x 2+2y 2
=2. 设过点P(2,1),倾斜角为α的直线的参数方程为
?
????x =2+tcos α,y =1+tsin α(t 为参数). 及点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2.
将直线的参数方程代入x 2+2y 2
=2得
(2+tcos α)2+2(1+tsin α)2
-2=0.
即(1+sin 2α)t 2
+4(sin α+cos α)t +4=0.
则Δ=16(2sin αcos α-sin 2
α)>0,且t 1+t 2=-4(sin α+cos α)
1+sin 2
α
,t 1t 2=4
1+sin 2
α
, 由|PA|2|PB|=83得|t 1t 2|=41+sin 2
α=8
3. 故sin 2
α=12.又由Δ>0得0 故t 1+t 2=8 23,t 1t 2=8 3 . 所以|AB|=|t 1-t 2|=(t 1+t 2)-4t 1t 2= 4 2 3 . N3选修4-4 参数与参数方程 23.N3[20132新课标全国卷Ⅰ] 选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为? ??? ?x =4+5cos t ,y =5+5sin t (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程; (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 23.解:(1)将?????x =4+5cos t ,y =5+5sin t 消去参数t ,化为普通方程(x -4)2+(y -5)2 =25, 即C 1:x 2+y 2 -8x -10y +16=0. 将? ????x =ρcos θ,y =ρsin θ代入x 2+y 2-8x -10y +16=0,得ρ2 -8ρcos θ-10ρsin θ+16= 0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2 -8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C 2的普通方程为x 2+y 2 -2y =0, 由?????x 2 +y 2 -8x -10y +16=0,x 2+y 2 -2y =0解得?????x =1,y =1或?????x =0, y =2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为? ????2,π4,? ????2,π2. 7.N3[20132安徽卷] 在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分 别为( ) A .θ=0(ρ∈R )和ρcos θ=2 B .θ=π 2(ρ∈R )和ρcos θ=2 C .θ=π 2 (ρ∈R )和ρcos θ=1 D .θ=0(ρ∈R )和ρcos θ=1 7.B [解析] 圆的直角坐标方程为x 2+y 2 -2x =0,故垂直于极轴的两条切线的直角坐标方程为x =0,x =2,其极坐标方程分别为θ=π 2 (ρ∈R )和ρcos θ=2. 9.N3[20132北京卷] 在极坐标系中,点? ????2,π6到直线ρsin θ=2的距离等于 ________. 9.1 [解析] 极坐标系中点的? ????2,π6对应直角坐标系中的点的坐标为(3,1),极坐标 系中直线ρsin θ=2对应直角坐标系中直线方程为y =2,所以距离为1. N3(Ⅱ)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点A 的极坐标为? ????2,π4,直线l 的极坐标方程为ρcos ? ????θ-π4=a ,且点A 在直线l 上. (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程; (2)圆C 的参数方程为???? ?x =1+cos α,y =sin α (α为参数),试判断直线l 与圆C 的位置关系. (Ⅱ)解:(1)由点A 2,π4在直线ρcos θ-π 4=a 上,可得a = 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ+ρsin θ=2, 从而直线l 的直角坐标方程为x +y -2=0. (2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x -1)2+y 2 =1. 所以圆C 的圆心为(1,0),半径r =1, 因为圆心C 到直线l 的距离d = 12=2 2 <1, 所以直线l 与圆C 相交. 14.N3[20132广东卷] (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的参数方程为 ?? ?x =2cos t , y =2sin t (t 为参数),C 在点(1,1)处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标,则l 的极坐标方程为________. 14.ρsin ? ????θ+π4= 2 [解析] 曲线C 的参数方程化为普通方程是x 2+y 2 =2,点(1, 1)在曲线上,易求得过(1,1)作圆C 切线的方程是:x +y =2,其极坐标方程是ρ(cos θ+sin θ)=2,即ρsin ? ????θ+π4= 2. 16.N3[20132湖北卷] (选修4-4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为???? ?x =acos φ,y =bsin φ (φ为参数,a>b>0).在极坐 标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin θ+π4=2 2m(m 为非零常数)与ρ=b.若直线l 经过 椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,则椭圆C 的离心率为________. 16. 63 [解析] 直线l 的直角坐标方程为x +y -m =0,圆O 的直角坐标方程为x 2+y 2 =b 2 ,由直线与圆相切得:m 2 =2b 2 .又椭圆C 的一般方程为x 2 a 2+y 2 b 2=1,直线过椭圆焦点,故m = c , 所以c 2=2b 2 e =c a =63 . 9.N3[20132湖南卷] 在平面直角坐标系xOy 中,若直线l :?????x =t , y =t -a (t 为参数)过椭圆 C :? ????x =3cos φ, y =2sin φ(φ为参数)的右顶点,则常数a 的值为________. 9.3 [解析] 将参数方程化为普通方程可得,直线l :? ????x =t ,y =t -a ,即y =x -a ,椭圆C : ? ????x =3cos φ,y =2sin φ,即x 29+y 2 4=1,可知其右顶点为(3,0),代入直线方程可得a =3. N3[20132江苏卷] C .[选修4-4:坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为???? ?x =t +1,y =2t (t 为参数),曲线C 的参数方 程为? ????x =2tan 2 θ, y =2tan θ(θ为参数),试求直线l 和曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐 标. 解:因为直线l 的参数方程为? ????x =t +1, y =2t (t 为参数),由x =t +1得t =x -1,代入y = 2t ,得到直线l 的普通方程为2x -y -2=0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2 =2x. 联立方程组?????y =2(x -1),y 2=2x , 解得公共点的坐标为(2,2),1 2,-1. 15.[20132江西卷] N3(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为? ????x =t , y =t 2(t 为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极 坐标方程为________. N4[20132江西卷] (2)(不等式选做题)在实数范围内,不等式||x -2|-1|≤1的解集为__________________. 15.(1)ρcos 2 θ-sin θ=0 (2)[]0,4 [解析] (1)曲线方程为y =x 2,将y =ρsin θ,x =ρcos θ代入得ρcos 2 θ-sin θ=0. (2)-1≤|x-2|-1≤1 0≤|x -2|≤2 -2≤x-2≤2,得0≤x≤4. 23.N3[20132辽宁卷] 选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C 1,直线C 2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ,ρcos ? ????θ-π4=2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标; (2)设P 为C 1的圆心,Q 为C 1与C 2交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为???? ?x =t 3 +a ,y =b 2t 3 +1(t∈R 为参数),求a ,b 的值. 23.解:(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2+(y -2)2 =4, 直线C 2的直角坐标方程为x +y -4=0. 解???? ?x 2 +(y -2)2 =4,x +y -4=0得?????x 1=0,y 1=4,?????x 2=2,y 2=2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为? ????4,π2,? ????2 2,π4. 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)由(1)可得,P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3), 故直线PQ 的直角坐标方程为x -y +2=0. 由参数方程可得y =b 2x -ab 2+1, 所以?????b 2=1,-ab 2+1=2, 解得a =-1,b =2. C .N3[20132陕西卷] (坐标系与参数方程选做题)如图1-5,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x 2+y 2 -x =0的参数方程为________. 图1-5 ? ????x =cos 2 θ,y =cos θ2sin θ(θ为参数) [解析] 设P(x ,y),则随着θ取值变化,P 可以表示圆上任意一点,由所给的曲线方程x 2+y 2-x =0 x -122+y 2 =14,表示以12,0为圆心,半径为 12 的圆,可得弦OP =13cos θ,所以?????x =OP2cos θ,y =OP2sin θ,可得?????x =cos 2 θ, y =cos θ2sin θ,故已知圆的参数方程为? ??? ?x =cos 2 θ,y =cos θ2sin θ(θ为参数). 11.N3[20132天津卷] 已知圆的极坐标方程为ρ=4cos θ,圆心为C ,点P 的极坐标为4,π 3 ,则|CP|=________. 11.2 3 [解析] ∵圆的极坐标方程为ρ=4cos θ,∴圆心C 的直角坐标为(2,0).∵P 点极坐标? ????4,π3,∴化为直角坐标为(2,23),∴|CP|=(2-2)2+(0-2 3)2 =2 3. 23.N3[20132新课标全国卷Ⅱ] 选修4—4:坐标系与参数方程 已知动点P ,Q 都在曲线C :? ????x =2cos t , y =2sin t (t 为参数)上,对应参数分别为t =α与t = 2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点. (1)求M 的轨迹的参数方程; (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点. 23.解:(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M 的轨迹的参数方程为? ????x =cos α+cos 2α, y =sin α+sin 2α (α为参数,0<α<2π). (2)M 点到坐标原点的距离 d =x 2 +y 2 =2+2cos α(0<α<2π). 当α=π时,d =0,故M 的轨迹过坐标原点. 2.N2,N3[20132浙江卷] 已知a∈R “矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块 (1)以极坐标系Ox 的极点O 为原点,极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ,并 在两种坐标系中取相同的长度单位.把极坐标方程cos θ+ρ2 sin θ=1化成直角坐标方程. (2)在直角坐标系xOy 中,曲线C :???x =2cos θ, y =sin θ (θ为参数),过点P(2,1)的直线与 曲线C 交于A ,B 两点.若|PA|2|PB|=8 3 ,求|AB|的值. 2.解:(1)极坐标方程两边同乘以ρ得ρcos θ+ρ3 sin θ=ρ. 又在直角坐标系下,ρcos θ=x ,ρsin θ=y ,ρ2=x 2+y 2 , 故化成直角坐标方程为x +y(x 2 +y 2 )=x 2 +y 2 . 又(0,0)满足原极坐标方程. 故所求的直角坐标方程为x +y(x 2 +y 2 )=x 2 +y 2 . (2)由题意,曲线C 的直角坐标方程为x 2+2y 2 =2. 设过点P(2,1),倾斜角为α的直线的参数方程为 ? ????x =2+tcos α,y =1+tsin α(t 为参数). 及点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2. 将直线的参数方程代入x 2+2y 2 =2得 (2+tcos α)2+2(1+tsin α)2 -2=0. 即(1+sin 2α)t 2 +4(sin α+cos α)t +4=0. 则Δ=16(2sin αcos α-sin 2 α)>0,且t 1+t 2=-4(sin α+cos α) 1+sin 2 α ,t 1t 2=4 1+sin 2 α , 由|PA|2|PB|=83得|t 1t 2|=41+sin 2 α=8 3. 故sin 2 α=12.又由Δ>0得0 故t 1+t 2=8 23,t 1t 2=8 3 . 所以|AB|=|t 1-t 2|=(t 1+t 2)-4t 1t 2= 4 2 3 . 15.N3[20132重庆卷] 在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ=4的直线与曲线? ????x =t 2 , y =t 3 (t 为参数)相交于A ,B 两点,则|AB|=________. 15.16 [解析] 直线的普通方程为x =4,代入曲线的参数方程 得t =±2,当t =2时x =4,y =8;当t =-2时x =4,y =-8,即有A(4,8),B(4,-8),于是|AB|=8-(-8)=16. N4(Ⅲ)选修4-5:不等式选讲 24.N4[20132新课标全国卷Ⅰ] 选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)=|2x -1|+|2x +a|,g(x)=x +3. (1)当a =-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集; (2)设a >-1,且当x∈???? ??-a 2,12时,f(x)≤g(x),求a 的取值范围. 24.解:(1)当a =-2时,不等式f(x) y =?????-5x ,x<1 2 , -x -2,12 ≤x≤1, 3x -6,x>1. 其图像如图所示,从图像可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0,所以原不等式的解集是 {x|0 (2)当x∈???? ??-a 2,12时,f(x)=1+a. 不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3. 所以x≥a-2对x∈??????-a 2,12都成立,故-a 2≥a -2,即a≤43, 从而a 的取值范围是? ????-1,43 设不等式|x -2| )的解集为A ,且32∈A ,12 A. (1)求a 的值; (2)求函数f(x)=|x +a|+|x -2|的最小值.