卧龙光线行测笔记-数学运算篇
第一章基础篇
数字特性法:指不直接求得最终结果,而只需要考虑最终计算结果的某种“数字特性”,从而达到排除错误选项的方法。
数字特性分类:大小特性、奇偶特性、尾数特性、余数特性、因子特性、整除特性、幂次特性等
(一)奇偶运算基本法则
【基础】奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数
偶数±奇数=奇数奇数±偶数=奇数
【推论】
1、任意两个数的和如果是奇数,那么差也是奇数;如果和是偶数,那么差也是偶数。
2、任意两个数的和或差是奇数,则两数奇偶相反;和或差是偶数,则两数奇偶相同
例题:某次测验有50道判断题,每做对一题得3分,不做或做错一题倒扣1分,某学生共得82分,问答对题数和答错题数(包括不做)相差多少?
A.33
B.39
C.17
D.16
【答案】D
【解析】答对的题目加答错的题目,一共是50道,是偶数,根据推论1,所以它们的差也是偶数,只有D是偶数,选D。
(二)尾数法
在运用尾数法解题之前,我们必须要知道自然数N次方尾数变化规律:
0的N次方尾数始终是0;
1的N次方尾数始终是1;
2的N次方尾数以“2,4,8,6”循环变化,循环周期为4;
3的N次方尾数以“3,9,7,1”循环变化,循环周期为4;
4的N次方尾数以“4,6”循环变化,循环周期为2;
5的N次方尾数始终是5;
6的N次方尾数始终是6;
7的N次方尾数以“7,9,3,1”循环变化,循环周期为4;
8的N次方尾数以“8,4,2,6”循环变化,循环周期为4;
9的N次方尾数以“9,1”循环变化,循环周期为2。
例题:72007的个位数加上32007的个位数的和是:
A.5 B.8 C. 10 D.13
【答案】C
【解析】7的N次方尾数以“7,9,3,1”循环变化,循环周期为4,2007除以4,余数是3,所以是第三个数,即72007的个位数是3,同理,3的N次方尾数以“3,9,7,1”循环变化,循环周期为4,32007的个位数是7,3+7=10,个位数和为10。
(三)阿三神算
“阿三神算”就是印度乘法口诀,其中除了我们所熟知的9以内的乘法之外,还衍伸到了19以内,即所谓19×19乘法表。具体乘法过程如下:
如: 13 × 12 =?
(被乘数)(乘数)
阿三是这样算的:
第一步:先把(13)跟乘数的个位数(2)加起来,13+2=15;
第二步后把第一步的答案乘以10; (→也就是说后面加个0)
第三步:再把被乘数的个位数(3)乘以乘数的个位数(2),2×3=6
第四步:把两个结果加起来,150+6=156
所以13×12=(13+2)×10+(3×2)=156
运用阿三神算,19以内的乘法就变得很简单了,(so easy!妈妈再也不用担心我的乘法了)
(四)因子特性
因子:可以整除的数是被除数的因子,如1,2,3,4,6,12都能整除12,都叫做12的因子,当因子是质数时,叫做质因子,2,3是12的质因子,一般多用到质因子。
因子特性:即利用式子中是否包含某些特定因子(如质因子)来进行答案的排除及选择的一种方法,其应用的核心在于“见到乘法想因子”。包含两种
情况:
1、若等式一边包含某个因子,则等式另一边必然包括该因子。
2、若等式一边不包含某个因子,则等式另一边也必然不包括该因子。
例如:a=3b,等式右边含有因子3,所以等式的左边必然含有因子3,即a 一定能被3整除;ab=5×34,等式的右边不含有因子3,所以等式的左边也必然不含有3的因子,也就是说,a和b都不是3的倍数,都不能被3整除。
乘法公式:
乘法分配率:(a+b)c=ac+bc;
乘法结合率:ac+bc=(a+b)c;
例题:五个一位正整数之和为30,其中两个数为1和8,而这五个数的乘积为2520,则其余三个数为( )
A.6,6,9
B.4,6,9
C.5,7,9
D.5,8,8
【答案】C
【解析】假设另外三个数为abc,则1×8×abc=2520,等式右边2520含有因子5和因子3,所以等式的左边必然有因子5和因子3,由含有5排除AB,9里含有因子3,所以选择C。
2:甲、乙、丙三人合修一条公路,甲、乙合修6天修好公路的1/3,乙、丙合修2天修好余下的1/4,剩余的三人又修了5天才完成。共得收入1800元,如果按工作量计酬,则乙可获得收入()
A.330元
B.910元
C.560元
D.980元
【答案】B
【解析】求乙获得的收入,可以先找出乙修的天数,乙一共修了6+2+5=13天,所以乙的收入为13乘以每天的钱,由此可知乙的收入一定是13的倍数,看四个选项,只有B能被13整除,所以答案是B。
(五)公约数和公倍数
分解质因数:把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式,即求质因数的过程。分解质因数只针对合数,求一个数分解质因数,要从最小的质数除起,一直除到结果为质数为止,分解质因数的算式的叫短除法。
公约数:亦称“公因数”,它是几个整数同时均能整除的整数。如果一个
整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”;公约数中最大的称为最大公约数
公倍数:指在两个或两个以上的自然数中,如果它们有相同的倍数,这些倍数就是它们的公倍数。这些公倍数中最小的,就称为这些整数的最小公倍数运用短除法求最大公约数和最小公倍数,求最大公因数遍乘一边,求最小公倍数遍乘一圈。
(六)倍数关系
A扩大两倍,是A ×2=2A;
A增加两倍,是A+2A=3A;
A是B的1/5,A=1/5B或5A=B;
A的1/5是B,1/5A=B或A=5B;
A比B多1/5,A=B+1/5B=6/5B;
A是B、C和的1/3,则A=1/4(A+B+C)
例题:A比B多1/5,则B比A少多少?
【解析】假设B为5,则A为6,所以B比A少1/6
(七)整除特性
能被2整除:个位上的数能被2整除,那么这个数能被2整除(偶数都能被2整除)
能被3整除:各个数位上的数字和,能被3整除,那么这个数能被3整除能被4整除:末两位能被4整除,那么这个数能被4整除
能被5整除:个位上的数能被5整除(即个位为0或5),那么这个数能被5整除
能被6整除:如果一个数既能被2整除又能被3整除,那么这个数能被6整除
能被7整除:末三法:这个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7整除,这个数就能被7整除。一般末三法跟割尾法结合使用割尾法:若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。例如,判断133是否7的倍数的过程如下:13-3×2=7,所以133是7的倍数;
又例如,判断233856是否7的倍数的过程如下:233856末三位是856,856与前面的233差856-233=623,然后运用割尾法,623去掉尾数3还余62,减去尾数的2倍,62-3×2=56,56是7的倍数,所以233856也是7的倍数。
能被8整除:末三位能被8整除,那么这个数能被8整除
能被9整除:各个数位上的数字和能被9整除,那么这个数能被9整除能被10整除:如果一个数既能被2整除又能被5整除,那么这个数能被10整除(即个位数为零)
能被11整除:“奇偶位差法”奇数位(从末位往前数)上的数字和与偶数位上的数字和之差(大数减小数)能被11整除,则该数就能被11整除。例如:2717,奇数位上有7与7,它们的和14,偶数位是是1与2,它们的和是3,二者的差是11,11是11的倍数,所以2717能被11整除(0也是11的倍数)。
能被12整除:若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除
能被13整除:若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
能被17整除:若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
能被19整除:把一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果差是19的倍数,则原数能被19整除
能被25整除:十位和个位所组成的两位数能被25整除。
能被125整除:百位、十位和个位所组成的三位数能被125整除。
可以把能被7,13,17,19整除的特性放在一起记,这几个数都用的是割尾法,对应的倍数分别是-2,+4,-5,+2,谐音(爱死我了)
整除性质:
1.整除的传递性
如果数a能被b整除,数b能被c整除,则数a能被c整除。
2.整除的可加减性
如果数a能被c整除,数b能被c整除,则a+b、a-b均能被c整除。
(八)余数特性
定理一:如果a ,b分别除以余数相同,就称a和b对于除数c是同余的,且a和b的差能被c整除,例如7除以5余2,32除以5也余2,32与7的差25,就能被5整除
定理二:a与b的和除以c的余数,等于a和b分别除以c的余数之和;例如,18除以7余4,22除以7,余1,则18与22的和40除以7的余数为5=4+1;
定理三:a与b的积除以c的余数,等于a和b分别除以c的余数之积;例如23除以3余2,4除以3余1,则23×4=92,除以3余2=2×1 一个数被2(或5)除得的余数,就是其末一位数字被2(或5)除得的余数;
一个数被4(或25)除得的余数,就是其末两位数字被4(或25)除得的余数;
一个数被8(或125)除得的余数,就是其末三位数字被8(或125)除得的余数。
一个数被3(或9)除得的余数,就是其各位相加后被3(或9)除得的余数
(九)等差与等比
等差数列:是常见数列的一种,如果一个数列从第二项起,每一项与它的
前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。
等差公式:
等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d
推论:an=am+(n-m)d 如:a11=a4+7d (m、 n均属于正整数)
公差d=(an-a1)÷(n-1)
项数=(末项-首项)÷公差+1
前n项和公式为:Sn=n(a1+an)/2或 Sn=a1n+n(n-1)d/2
等差数列基本性质:
1.数列为等差数列的重要条件是:数列的前n项和S 可以写成S =An2 +Bn 的形式(其中A、B为常数).
2.在等差数列中,当项数为2n (n∈ N+)时,S偶-S奇 = nd;
当项数为(2n-1)(n∈ N+)时,S奇—S偶=an(中)
3.记等差数列的前n项和为S,①若a >0,公差d<0,S有最大值;
②若a <0 ,公差d>0,S有最小值.
4. an+ am =ak+aj (n+m=k+j)
5. 数列为奇数项时,前n项的和=中间项×项数
等比数列:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)且等比数列a1≠ 0。当q=1时,an为常数列。
等比公式:
(1)通项公式:an=a1×q(n-1)
(2)求和公式:sn=n×a1(q=1)
sn=a1×(1-qn)/(1-q)(q≠1)
求和公式用文字来描述就是:S=(末项×公比-首项)÷(公比-1)
若m、n、p、q都是正整数,且m+n=p+q,则am×an=ap×aq
(九)阶乘,幂
正整数阶乘:指从1乘以2乘以3乘以4一直乘到所要求的数。例如所要
求的数是4,则阶乘式是1×2×3×4,得到的积是24,24就是4的阶乘。注意:0的阶乘是存在的,0!=1
1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720,
幂:通俗的说就是我们通常所说的多少次方,比如平方叫二次幂,立方叫三次幂
下表要求记住:
第二章模块篇
数字计算
【知识普及】江苏省公务员行测考试数学运算中的数字计算基本分为纯数字计算、化简、特殊符号计算以及等差、等比公式运用等几种,其中化简类考查较多。
1、尾数法
掌握自然数N次方尾数变化规律:(参考基础)
例1:72007的个位数加上32007的个位数的和是:
A.5 B.8 C. 10 D.13 【答案】C
【解析】7的N次方尾数以“7,9,3,1”循环变化,循环周期为4;3的N次方尾数以“3,9,7,1”循环变化,循环周期为4;所以72007的尾数是3,32007的尾数是7,个位数之和为10.
2、巧算
①乘11和9,以及101,1001,10001等——错位相加减
如24*11=264, 64*9=576,57*101=5757
逆向思维:看到20092009,789789等重复数字,要反映出是所重复数字与10001,1001等数字的乘积。
②乘以1.5——减半相加
如64*1.5=64+32=96
乘5,25,125——变除(乘10除以2,乘100除以4,乘1000除以8)
例2:20102010×2009-2010×2009×10001=()
A.2010
B.2009
C.1001
D.0
【答案】D
【解析】20102010=2010×10001,所以原式=2010×10001×2009-2010×2009×10001=0,答案为0.
3、因式分解
①裂项法
裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消
去一些项,最终达到求和的目的,通项分解(裂项)如:
(1))1(1+n n =n 1-11
+n
(2)
)12(121+)-(n n =21×(121-n -121
+n ) 例3:
211
?+3
21?+…+)1(1+?n n +…=( )
A .0
B .0.5
C .1
D .2 【答案】 C
【解析】运用裂项法,原式=1-21+21-31+31-…+n 1-n 1-1
1
+n =
1-1
1+n ,当n 趋向于无穷大时,原式等于1。
②因式分解
因式分解(分解因式)Factorization ,把一个多项式化为几个最简整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式。
平方差公式:(a +b )(a -b )=a 2-b 2
反过来为:a 2-b 2
=(a +b )(a -b ) 完全平方公式:(a +b )2=a 2+2ab +b 2
反过来为:a 2+2ab +b 2=(a +b )2
立方和公式: a 3+b 3
=(a +b )(a 2-ab +b 2
); 立方差公式:a 3-b 3
=(a -b )(a 2+ab +b 2
)
例4:(2+1)×(2
2+1)×(4
2+1)×(8
2+1)×(16
2+1)=( ) A .322+1 B .322 C .322-1 D .64
2+1 【答案】C
【解析】本题考查的是添项因式,原式=(2-1)×(2+1)×(2
2+1)×(4
2+1)×(8
2+1)×(162+1) =(22-1)(22+1)×(4
2+1)×
(82+1)×(162+1)=32
2-1。
4、等差等比数列(参考基础)
等差求和n S =2)
(1n a a n +
等比求和n S =q q a n 1)
1(1-
例5 :50个数1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8,…的和是( )
A .568
B .497
C .523
D .491 【答案】D
【解析】这50个数可以变成3组等差数列求和,第一组为1,2,3……17,第二组为2,3,4……18,第三组为3,4,5……18,第一组的和为153,第二组的和为170,第三组的和为168。三组之和即为要求的50个数的和,运用尾数法可知和的尾数为1,答案为D
5、平均数
平均数的计算方法有两种:
方法1:把所有数加起来,除以次数;
方法2:先设一个基数,求其他数与基数的差,再求这些差的平均值,最后加上基数
例6 :五个数写成一排,前三个数平均值是15,后两个数平均值是10,则这五个数的平均值是( )。
A. 11
B. 12.5
C. 13
D. 14
【答案】C
【解析】15×3+10×2=65,65÷5=13,所以平均值为13
习题
1、123456788×123456790-123456789×123456789=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2
2、(10江苏B )1!+2!+3!+…2010!的个位数是( )。 A .1 B .3 C .4 D .5
3、1.12
+1.22
+1.32
+1.42
的值是:()
A .5.04
B .5.49
C .6.06
D .6.30
4、2007
1
+2007
3
+2007
5
+2007
7
+2007
9
值的个位数是( )
A .5
B .6
C .8
D .9
5、421+561+721+9011101的值是:() A .61 B .665 C .857
D .12811
6、计算:11+192+1993+19994+199995所得和数的数字之和是多少?() A .12 B .17 C .20 D .35
7、292929÷161616×112=?()
A .174
B .190
C .203
D .206
8、计算110.12+1210.32+1220.42+1260.82的值为
A .4555940.8
B .4555940.9
C .4555941.18
D .4555940.29
9、12+22+32+···+1234567892 之和的个位数是多少?() A .6 B .3 C .4 D .5
10、19982-19972+19962-19952+19942-19932+19922-19912的值是?() A .16966 B .15956 C .15866 D .14968
11、计算:11+211
++3
211+++...+100...3211+++的值为()
A.2
B.50502000
C.1201200
D.101
200
12、数列{a n }是等差数列,a 3+a 7-a 10=8,a 11-a 4=4,则数列前13项之和是() A.32 B.36 C.156 D.182
13、有一堆粗细均匀的圆木最上面一层有6根,每向下一层增加一根;共堆了25层。这堆圆木共有多少根?
A.175 B.200 C.375 D.450
14、(12国考)对9名缝纫工进行技术评比,9名工人的得分恰好成等差数列,9名工人的平均得分是86分,前5名工人的得分之和是460分,那么前7名工人的得分之和是多少?
A.602
B.623
C.627
D.631
15、把自然数1,2,3,4,5……98,99分成三组,如果每组数的平均数刚好相等,那么此平均数为()
A.55
B.60
C.45
D.50
16、有10名学生参加某次数学竞赛,已知前八名的平均成绩是90分,第九名比第十名多2分,所有学生的平均成绩是87分。问第九名学生的数学成绩是几分?( )
A.70 B.72 C.74 D.76
17、小明前三次数学测验的平均分数是88分,要想平均分数达到90分以上,他第四次测验至少要达到( )。
A.98分
B.96分
C.94分
D.92分
18(08江苏A)已知公差为2的正整数等差数列为a n,则该数列满足不等式7/16<a n/5<398/9的所有项的和为()
A.12320 B.12430 C.12432 D.12543
19、1992是24个连续偶数的和,问这24个连续偶数中最大的一个是几?
A.58
B.60
C.28
D.106
多位数问题
【知识普及】多位数问题主要涉及一位数、两位数、三位数的构造、求值以及判定位置等问题。在这类问题中,考查重点是考生的分析能力,需要考生能够将题目条件迅速转化为相应的数字形式。多位数问题考查的技巧涉及多位数构造、数字拆分、数字结构分析、直接代入验证等多个技巧。
例1:某次考试中,小林的准考证号码是个三位数,个位数字是十位数字的2倍,十位数字是百位数字的4倍,三个数字的和是13,则准考证号码是( )
A.148
B.418
C.841
D.814
【答案】A
【解析】直接代入选项,由“个位数字是十位数字的2倍”排除B、C、D,选A。
例2:一个四位数与7的和是由没有重复数字组成的最小四位数,问原四位数的个位是多少?()
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】D
【解析】没有重复数字组成的最小四位数是1023,因此1023-7=1016,故应选D。
习题
1、(09江苏B)可以分解为三个质数相乘的最小三位数是()。
A.100
B.102
C.104
D.105
2、用数字0、1、2(即可全用也可不全用)组成的非零自然数,按从小到大排列,问“1010”排在第几个?()
A.30 B.31 C.32 D.33
3、(08江苏B)五个一位正整数之和为30,其中两个数为1和8,而这五个数和乘积为2520,则其余三个数为()
A.6,6,9
B.4,6,9 C.5,7,9 D.5,8,8
4、将1-9九个自然数分成三组,每组三个数,第一组三个数之积是 48。第二组三个数之积是 45,三组数字中数字之和最大是多少?
A.15
B.17
C.18
D.20
5、某单位招录了10名新员工,按其应聘成绩排名1到10,并用10个连续的四位自然数依次作为他们的工号。凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除,问排名第三的员工工号所有数字之和是多少?
A.9
B.12
C.15
D.18
6、一个五位数,左边三位数是右边俩位数的5倍,如果把右边的两位数移到前面,则所得新的五位数要比原来的五位数的2倍还多75,则原来的五位数是()。
A.12525 B.13527 C.17535 D.22545
7、有一个两位数,如果把数字1加写在它的前面,那么可得到一个三位数,如果把l加写在它的后面,那么也可以得到一个三位数,而且这两个三位数相差414,求原来的两位数。( )
A.35 B.43 C.52 D.57
8、下列四个数都是六位数,X是比10小的自然数,Y是零,一定能同时被
2、3、5整除的数是()。
A. XXXYXX
B. XYXYXY
C. XYYXYY
D. XYYXYX
9、某两位数a是数b的4倍加3,两位数a的个位与十位互换后的新数c 正好是数b的15倍加6,则a为多少?
A.12 B.21 C.15 D.51
1.1基础数列类型 ①常数数列如7,7,7,7,7,7,7,7,…… ②等差数列如11,14,17,20,23,26,…… ③等比数列如16,24,36,54,81,…… ④周期数列如2,5,3,2,5,3,2,5,3,…… ⑤对称数列如2,5,3,0,3,5,2,…… ⑥质数数列如2,3,5,7,11,13,17 ⑦合数数列如4,6,8,9,10,12,14 注意:1既不是质数也不是合数 1.2 200以内质数表 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199 1.3 整除判定 能被2整除的数,其末尾数字是2的倍数(即偶数) 能被3整除的数,各位数字之和是3的倍数 能被5整除的数,其末尾数字是5的倍数(即5、0) 能被4整除的数,其末两位数字是4的倍数 能被8整除的数,期末三位数字是8的倍数 能被9整除的数,各位数字之和是9的倍数 能被25整除的数,其末两位数字是25的倍数
能被125整除的数,其末三位数字125的倍数 1.4 经典分解 91=7×13 111=3×37 119=7×17 133=7×19 117=9×13 143=11×13 147=7×21 153=9×17 161=7×23 171=9×19 187=11×17 209=19×11 1.5常用平方数 数字平方 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 7 49 8 64 9 81 10 100 11 121 12 144 13 169 14 196 15 225 16 256 17 289 18 324 19 361 20 400 21 441 22 484 23 529 24 576 25 625
初一数学(上)应知应会的知识点 第一部分 有理数 1.有理数: (1)凡能写成) 0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数,都是有理数.正整数、0、负整数统称 整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意:0即不是正数,也不是负数;-a 不一定是负数,+a 也不一定是正数;π不是有理数; (2)有理数的分类: ① ?? ? ? ??? ?? ??? ?负分数 负整数负有理数零 正分数正整数正有理数有理数 ② ?? ? ? ?? ? ?? ??????负分数 正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)注意:有理数中,1、0、-1是三个特殊的数,它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域,这四个区域的数也有自己的特性; (4)自然数? 0和正整数;a >0 ? a 是正数;a <0 ? a 是负数; a ≥0 ? a 是正数或0 ? a 是非负数;a ≤ 0 ? a 是负数或0 ? a 是非正数. 2.数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3.相反数: (1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0; (2)注意: a-b+c 的相反数是-a+b-c ;a-b 的相反数是b-a ;a+b 的相反数是-a-b ; (3)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值: (1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;
(2)绝对值可表示为:?????<-=>=) 0a (a ) 0a (0)0a (a a 或?? ?<-≥=) 0a (a )0a (a a ;绝对值的问题经常分 类讨论; (3) a 1a a >?= ; a 1a a -=; (4) |a|是重要的非负数,即|a|≥0;注意:|a|·|b|=|a ·b|, b a b a =. 5.有理数比大小:(1)正数的绝对值越大,这个数越大;(2)正数永远比0大,负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数 > 0,小数-大数 < 0. 6.互为倒数:乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;若 a ≠0,那么a 的倒数是a 1;倒数是本身的数是±1;若ab=1? a 、b 互为倒数;若 ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7.有理数加法法则: (1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; (2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的 绝对值; (3)一个数与0相加,仍得这个数. 8.有理数加法的运算律: (1)加法的交换律:a+b=b+a ;(2)加法的结合律:(a+b )+c=a+(b+c ). 9.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b ). 10.有理数乘法法则: (1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘; (2)任何数同零相乘都得零;
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2019年小学数学听课笔记(记录) 各位读友大家好,此文档由网络收集而来,欢迎您下载,谢谢 小学数学听课记录 教学过程: 一、创设情境,初步感知 谈话:看老师手中拿的是什么(三角板),你能找出它有多少个角吗 二、组织活动,探究新知 1.认识角 投影显示:投影课本里的图片 谈话:找一找,图片上哪些像角(学生回答) 追问:角在我们的生活中无处不在,一个角有几个顶点几条边能从我们身边的一些物体的面上找到角吗找到后指出它们的顶点和边。 2.折一个角 谈话:我们已经认识了角,能用自己灵巧的小手折一个角吗看谁折得快折得好。(用准备好的白纸折角) 3.角的大小比较 (1)提问:能使你折的角变得再大一些吗你是怎么办的能把它变得小一些吗又是怎么做到的 (2)钟面上的时针和分针转动时,形成了大小不同的角,同学们能比较出哪个角大些吗用什么方法比较
(3)谈话:观察老师手上的这两个三角形(两个纸做的一大一小的三角形),哪个三角形大些呢还是一样大呢你知道角的大小和什么有关吗 三、固应用,拓展延伸 1.课本练习第1题。谈话:机灵的小猴找来了一些图形,想考考小朋友,敢接受它的挑战吗投影展示图形:哪些是角,哪些不是角是角的你能指出它的顶点和边吗指名回答。 2.课本练习第2题。谈话:好学的小猫觉得小朋友学得不错,于是来请教我们了。投影展示,图中各有几个角,说给同桌听。 3.课本练习第3、第5题。谈话:聪明的小兔看到大家的本领这么棒,终于忍不住也要来考考我们,投影展示题目。同桌讨论后在班内交流。 4.课本练习第4题。谈话:山羊老师对大家很满意,决定带小朋友玩一玩。 动手拉、合剪刀。说说你看到的角有什么变化 四、总结全课,布置作业 谈话:通过这节课的学习,你有什么收获回家给爸爸妈妈展示一下你今天学到的本领,找找你们家哪些物体上有角。点评:充分利用学具,调动学生已有的生活经验,激发学生探求新知的强烈欲望,使学生获得对角的感性认识。通过“看”、“找”,体会角在面上,初步建立对角的概念。让学生用喜欢的方法折一个角,在实践中探索不同的折角方法,给学生留出充分的思考及表现自我的时间和空
第八周10月18日~10月22日例题 例1. 解方程: (系数化1) (1) x =36 (2) x -=52 (3) x =164 (4) x -=2 105 (5) ..x =0311 (6) .x -=1580 例2. 解方程: (等式的性质) 例3. 解方程: (合并同类项) (1) x -=235 (2) .x +=1 0203 x x x --=13154 例4. 解方程: (移项) 例5. 解方程: (去括号) x x -=+320425 ()()x x x --=++371323 例6. 解方程: (去分母) (1) x x x x +++=21133327 (2) x x x ++--=-31233522510 (3) .....x x -+= 050130040206 绝对值方程 例1. 若||x =3,则x = . 例2. ||x +1=3 例3. ||x --12=3
例4. ||||x x ++-12=5 (利用“零点分段法”分类讨论并化简) 含参数的方程 例1. 解关于x 的方程:ax b = 例2. 解关于x 的方程:mx n x m +=-2 (m ≠2) 补充练习: (1)如果x x =-13122,那么x = (2)如果x y -=+11,那么x = (3)如果 a b =-1 33,那么a = (4)如果a -=23 32 ,那么a = (5)判断 A. 如果m n =,那么am an =. ( ) B. 如果am an =,那么m n =. ( ) C. 如果m n =,那么 m n a a =. ( ) D. 如果m n a a =,那么m n =. ( ) E. 若xy y =,则x =1. ( ) F. 若ax =1,则x a =1 . ( ) (6)下列各式是一元一次方程的有_______________ ①a -=530;②x +1;③m m -=263;④x y +=24;⑤ab c +=4;⑥x x -=51;⑦x =1 5;⑧x =1. (7)按要求填空,并写出计算过程: (?4 )(-?3 )=14. (1)括号内两数相同;(2)两数互为相反数;(3)两数之和为4.
一、容斥原理 容斥原理关键就两个公式: 1. 两个集合的容斥关系公式:A+B=A∪B+A∩B 2. 三个集合的容斥关系公式:A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C 请看例题: 【例题1】某大学某班学生总数是32人,在第一次考试中有26人及格,在第二次考试中有24人及格,若两次考试中,都没及格的有4人,那么两次考试都及格的人数是( ) A.22 B.18 C.28 D.26 【解析】设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50;A∪B=32-4=28,则根据A∩B=A+B-A∪B=50-28=22。答案为A。 【例题2】电视台向100人调查前一天收看电视的情况,有62人看过2频道,34人看过8频道,11人两个频道都看过。问两个频道都没看过的有多少人? 【解析】设A=看过2频道的人(62),B=看过8频道的人(34),显然,A+B=62+34=96; A∩B=两个频道都看过的人(11),则根据公式A∪B= A+B-A∩B=96-11=85,所以,两个频道都没看过的人数为100-85=15人。 二、作对或做错题问题 【例题】某次考试由30到判断题,每作对一道题得4分,做错一题倒扣2分,小周共得96分,问他做错了多少道题? A.12 B.4 C.2 D.5 【解析】 方法一 假设某人在做题时前面24道题都做对了,这时他应该得到96分,后面还有6道题,如果让这最后6道题的得分为0,即可满足题意.这6道题的得分怎么才能为0分呢?根据规则,只要作对2道题,做错4道题即可,据此我们可知做错的题为4道,作对的题为26道. 方法二 作对一道可得4分,如果每作对反而扣2分,这一正一负差距就变成了6分.30道题全做对可得120分,而现在只得到96分,意味着差距为24分,用24÷6=4即可得到做错的题,所以可知选择B