专题二 数 列 建知识网络 明内在联系
[高考点拨] 数列专题是浙江新高考的必考专题之一,主要考查等差、等比数列的基本量运算及数列求和的能力,该部分即可单独命题,又可与其他专题综合命题,考查方式灵活多样,结合浙江新高考的命题研究,本专题我们按照“等差、等比数列”和“数列求和及综合应用”两条主线展开分析和预测.
突破点4 等差数列、等比数列
(对应学生用书第16页)
[核心知识提炼]
提炼1等差数列、等比数列的运算 (1)通项公式
等差数列:a n =a 1+(n -1)d ; 等比数列:a n =a 1·q n -1
.
(2)求和公式 等差数列:S n =n a 1+a n
2=na 1+n n -
2
d ;
等比数列:S n =a 1
-q n
1-q
=
a 1-a n q
1-q
(q ≠1). (3)性质 若m +n =p +q ,
在等差数列中a m +a n =a p +a q ; 在等比数列中a m ·a n =a p ·a q . 提炼2等差数列、等比数列的判定与证明
数列{a n }是等差数列或等比数列的证明方法: (1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法 ①利用定义,证明a n +1-a n (n ∈N *
)为同一常数; ②利用中项性质,即证明2a n =a n -1+a n +1(n ≥2). (2)证明{a n }是等比数列的两种基本方法 ①利用定义,证明
a n +1a n
(n ∈N *
)为同一常数; ②利用等比中项,即证明a 2
n =a n -1a n +1(n ≥2). 提炼3数列中项的最值的求法
(1)根据数列与函数之间的对应关系,构造相应的函数f (n )=a n ,利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解,但要注意自变量的取值必须是正整数的限制.
(2)利用数列的单调性求解,利用不等式a n +1≥a n (或a n +1≤a n )求解出n 的取值范围,从而确定数列单调性的变化,进而确定相应的最值.
(3)转化为关于n 的不等式组求解,若求数列{a n }的最大项,则可解不等式组???
??
a n ≥a n -1,a n ≥a n +1;若
求数列{a n }的最小项,则可解不等式组???
??
a n ≤a n -1,
a n ≤a n +1,
求出n 的取值范围之后,再确定取得最
值的项.
[高考真题回访]
回访1 等差数列及其运算
1.(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,则“d >0”是“S 4+S 6>2S 5”的( )
【导学号:68334059】
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
C [法一:∵数列{a n }是公差为d 的等差数列, ∴S 4=4a 1+6d ,S 5=5a 1+10d ,S 6=6a 1+15d , ∴S 4+S 6=10a 1+21d,2S 5=10a 1+20d . 若d >0,则21d >20d,10a 1+21d >10a 1+20d , 即S 4+S 6>2S 5.
若S 4+S 6>2S 5,则10a 1+21d >10a 1+20d ,即21d >20d , ∴d >0.∴“d >0”是“S 4+S 6>2S 5”的充分必要条件.
故选C.
法二:∵S 4+S 6>2S 5?S 4+S 4+a 5+a 6>2(S 4+a 5)?a 6>a 5?a 5+d >a 5?d >0,∴“d >0”是“S 4+
S 6>2S 5”的充分必要条件.
故选C.]
2.(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是S n ,若a 3,a 4,a 8成等比数列,则( ) A .a 1d >0,dS 4>0 B .a 1d <0,dS 4<0 C .a 1d >0,dS 4<0 D .a 1d <0,dS 4>0
B [∵a 3,a 4,a 8成等比数列,∴a 2
4=a 3a 8,∴(a 1+3d )2
=(a 1+2d )(a 1+7d ),展开整理,得-3a 1d =5d 2
,即a 1d =-53d 2.∵d ≠0,∴a 1d <0.∵S n =na 1+
n n -
2
d ,∴S 4=4a 1+6d ,dS 4=4a 1d
+6d 2
=-23
d 2<0.]
3.(2014·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S 2·S 3=36. (1)求d 及S n ;
(2)求m ,k (m ,k ∈N *
)的值,使得a m +a m +1+a m +2+…+a m +k =65.
【导学号:68334060】
[解] (1)由题意知(2a 1+d )(3a 1+3d )=36, 2分
将a 1=1代入上式解得d =2或d =-5. 因为d >0,所以d =2,S n =n 2
(n ∈N *
). 5分
(2)由(1)得a m +a m +1+a m +2+…+a m +k =(2m +k -1)(k +1),所以(2m +k -1)(k +1)=65.
由m ,k ∈N *
知2m +k -1>k +1>1,故?
??
??
2m +k -1=13,
k +1=5,所以?
??
??
m =5,
k =4.
15分
4.(2013·浙江高考)在公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 1=10,且a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列. (1)求d ,a n ;
(2)若d <0,求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |.
[解] (1)由题意得,a 1·5a 3=(2a 2+2)2
,由a 1=10,{a n }为公差为d 的等差数列得,d 2
-3d -4=0,
2分
解得d =-1或d =4.
所以a n =-n +11(n ∈N *
)或a n =4n +6(n ∈N *). 5分
(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .
等差数列和等比数列的综合及其联系 课题设计背景: 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型,研究等差数列的通项、性质以及求和公式,并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标: (1)掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式; (2)掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式;体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。
例题分析: 1、已知(), f x = 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法,求和: (5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值 2、已知公差不为零的等差数列{n a }中,236,,a a a 组成等比数列的连续三项,求公比q 3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== (1)求1a 和d 的值;(2)16b 是不是数列{}n a 中的项,为什么? (二)等差数列和等比数列之间的转化 结论: (1){}n a 成等差数列,则{}(0,1)n a c c c >≠成等比数列; (2)正项数列{}n a 成等比数列,则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列,再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析: 1、 已知数列)}({* N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比,以11(0)a a >为首项的等比数列,求 12lg lg ...lg n a a a +++ 2、 若数列)}({* N n a n ∈是等差数列,则有数列*123......,()n n a a a a b n N n ++++= ∈ 也是等差数列;类比上述性质,相应地:若数列)}({* N n c n ∈是等比数列,且0>n c ,则 有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。 3、 设)}({* N n a n ∈是等差数列,12n a n b ?? = ? ?? ,已知123123211 ,,88 b b b b b b ++= =求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。 (三)学法总结: (四)课后反思:
微专题11等差数列与等比数列 1.掌握并活用等差、等比数列的基本量和性质,进行基本运算. 2.运用定义域分析通项公式,判断或证明一个数列是等差(比)数列. 3.从分析数列特征入手,综合运用通项公式、求和公式、不等式、函数等方法求解最值或参数范围问题. 考题导航题组一等差数列、等比数列的基本量及基本运算 1.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=________. 2.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n =________. 1.已知{a n }是等差数列,公差d 不为零.若a 2,a 3,a 7成等比数列,且2a 1+a 2=1,则a 1=________,d =________. 2.若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=-1,a 4=b 4=8,则a 2b 2 =________.题组二等差数列、等比数列的判定与证明 1.已知数列{a n }的首项a 1=1,且满足a n +1=a n 4a n +1 ,则a n =________.2.已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n +2=2a n +1-a n +2. (1)设b n =a n +1-a n ,证明:{b n }是等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式.
1.记S n为数列{a n}的前n项和,若S n=2a n+1,则S6=________. 2.设数列{a n}中,S1=1,S2=2,S n+1-3S n+2S n-1=0(n≥2),则命题“{a n}是等比数列”是________命题.(填“真”或“假”) 题组三与等差数列、等比数列有关的最值、参数范围问 题 1.设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为________. 2.已知数列{a n}为等差数列,若a7 a6 <-1,且它们的前n项和S n有最大值,则使S n>0的n的最大值为________. 3.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S10=0,S15=25,则nS n的最小值为________. 1.已知首项为3 2的等比数列{a n }不是递减数列,其前n项和为S n(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列. (1)求数列{a n}的通项公式; (2)设T n=S n-1 S n (n∈N*),求数列{T n}最大项的值与最小项的值.
一、等差数列 1.定义:)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式:d n a )1(a 1n -+= 3.变式:d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和:2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义: ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义:常数)(a 1q a n n =+ 2.通项公式:11a -=n n q a 3.变式: m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n
前n 项和:n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式:m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质: ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和.进行拆分,分别利用基,则可或等比数列的和的形式数列,但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和: 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2.裂项相消法. ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列,项和,其中的前项为用于通 从而计算和的方法,适别裂开后,消去一部分把数列和式中的各项分
1.(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A .a n =2n -5 B .a n =3n -10 C .S n =2n 2 -8n D .S n =12 n 2 -2n 2.(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足,a n +1+2a n =0,且a 2 =2,则{a n }前10项的和等于( ) A.1-2103 B .-1-210 3 C .210-1 D .1-210 3.已知等比数列{a n }的首项为1,公比q ≠-1,且a 5+a 4=3(a 3 +a 2),则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A .-9 B .9 C .-81 D .81 4.(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A .-12 B .-10 C .10 D .12 5.(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零,S n 为其前n 项和,S 3=9,且a 2-1,a 3-1,a 5-1构成等比数列,则S 5=( ) A .15 B .-15 C .30 D .25 二、填空题 6.(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5=________,S n 的最小值为________. 7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走378里路,
§6.2 等差数列 一.课程目标 1.理解等差数列的概念; 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式; 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题; 4.了解等差数列与一次函数的关系. 二.知识梳理 1.定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示. 数学语言表达式:a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数),或a n -a n -1=d (n ≥2,d 为常数). 2.通项公式 若等差数列{a n }的首项是a 1,公差是d ,则其通项公式为a n =a 1+(n -1)d . 3.前n 项和公式 等差数列的前n 项和公式:2 2111)() (n n a a n d n n na S +=-+=其中n ∈N *,a 1为首项,d 为公差,a n 为第n 项). 3.等差数列的常用性质 已知数列{a n }是等差数列,S n 是{a n }的前n 项和.
(1)通项公式的推广:*),()(N m n d m n a a m n ∈-+= (2)若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则有q p n m a a a a +=+。特别的,当p n m 2=+时,p n m a a a 2=+ (3)等差数列{a n }的单调性:当d >0时,{a n }是递增数列;当d <0时,{a n }是递减数列;当d =0时,{a n }是常数列. (4)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (5)若}{},{n n b a 是等差数列,则}{n n qb pa +仍是等差数列. 4.与等差数列各项和相关的性质 (1)若}{n a 是等差数列,则}{n S n 也是等差数列, 其首项与}{n a 的首项相同,公差为}{n a 的公差的 2 1。 (2)数列m m m m m S S S S S 232--,,…也是等差数列. (3)关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。 a .若项数为n 2,则1 +==-n n a a S S nd S S 偶奇奇偶, 。 b .若项数为12-n ,则n a n n S )(1-=偶,n na S =奇,1 += =-n n S S a S S n 偶奇奇偶, 。 (4)若两个等差数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为n n T S ,,则 1 21 2--=n n n n T S b a 5.等差数列的前n 项和公式与函数的关系: (1)n d a n d S )(2 212-+= ,数列{a n }是等差数列? S n =An 2+Bn (A ,B 为常数). (2)在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值.
等差数列和等比数列知识点梳理 第一节:等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义:对于一个数列,如果它的后一项减去前一项的差为一个定值,则称这个数列为等差数列,记:d a a n n =--1(d 为公差)(2≥n ,*n N ∈) 2、等差数列通项公式: 1(1)n a a n d =+-,1a 为首项,d 为公差 推导过程:叠加法 推广公式:()n m a a n m d =+- 变形推广:m n a a d m n --= 3、等差中项 (1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2 b a A +=或 b a A +=2 (2)等差中项: 数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式: 1()2n n n a a S += 1(1) 2n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ 前N 相和的推导:当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=。(注:12132n n n a a a a a a --+=+=+=???,)当然扩充到3项、4项……都是可以的,但要保证等号两边项数相同,下标系数之和相等。
5、等差数列的判定方法 (1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列. (2)等差中项:数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a (3)数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=(其中b k ,是常数)。 (4)数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。 6、等差数列的证明方法 定义法或者等差中项发? {}n a 是等差数列. 7、等差数列相关技巧: (1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、 n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d ); ③偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(注意;公差为2d ) 8、等差数列的性质: (1)当公差0d ≠时,等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ;前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。
一.课题:等差数列与等比数列的基本运算 二.教学目标:掌握等差数列和等比数列的定义,通项公式和前n 项和的公式,并能利用这些知识 解决有关问题,培养学生的化归能力. 三.教学重点:对等差数列和等比数列的判断,通项公式和前n 项和的公式的应用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.等差数列的概念及其通项公式,等差数列前n 项和公式; 2.等比数列的概念及其通项公式,等比数列前n 项和公式; 3.等差中项和等比中项的概念. (二)主要方法: 1.涉及等差(比)数列的基本概念的问题,常用基本量1,()a d q 来处理; 2.使用等比数列前n 项和公式时,必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1,如果不能确定则需要讨论; 3.若奇数个成等差数列且和为定值时,可设中间三项为,,a d a a d -+;若偶数个成等差数列且和为定值时,可设中间两项为,a d a d -+,其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元.若干个数个成等比数列且积为定值时,设元方法与等差数列类似. 4.在求解数列问题时要注意运用函数思想,方程思想和整体消元思想,设而不求. (三)例题分析: 例1.(1)设数列{}n a 是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项为 2 . (2)已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,且139,,a a a 成等比数列,则1392410a a a a a a ++++=1316 . 例2.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个书的和是12,求这四个数. 解:设这四个数为:2 (),,,a d a d a a d a +-+,则2 ()16212a d a d a a d ?+-+=???+=? 解得:48a d =??=?或96a d =??=-?,所以所求的四个数为:4,4,12,36-;或15,9,3,1. 例3.由正数组成的等比数列{}n a ,若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍,第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍,求数列{}n a 的通项公式. 解:当1q =时,得11211na na =不成立,∴1q ≠, ∴221122331111 (1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ?--=?--??+=?? 由①得110 q =,代入②得110a =, ∴21()10 n n a -=. 说明:用等比数列前n 项和公式时,一定要注意讨论公比是否为1. 例4.已知等差数列110,116,122,, ① ②
等差数列、等比数列同步练习题 等差数列 一、选择题 1、等差数列-6,-1,4,9,……中的第20项为() A、89 B、-101 C、101 D、-89 2、等差数列{a n}中,a15 = 33,a45 = 153,则217是这个数列的() A、第60项 B、第61项 C、第62项 D、不在这个数列中 3、在-9与3之间插入n个数,使这n+2个数组成和为-21的等差数列,则n为 A、4 B、5 C、6 D、不存在 4、等差数列{a n}中,a1 + a7 = 42,a10 - a3 = 21,则前10项的S10等于() A、720 B、257 C、255 D、不确定 5、等差数列中连续四项为a,x,b,2x,那么a:b等于() A、1 4B、 1 3C、 1 3或 1 D、 1 2 6、已知数列{a n}的前n项和S n = 2n2 - 3n,而a1,a3,a5,a7,……组成一新数列{ C n },其通项公式为()A、C n= 4n - 3 B、C n= 8n - 1 C、C n= 4n - 5 D、C n= 8n - 9
7、一个项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30,若此数列的最后一项比第1项大10,则这个数列共有() A、6项 B、8项 C、10项 D、12项 8、设数列{a n}和{b n}都是等差数列,其中a1 = 25,b1 = 75,且a100 + b100 = 100,则数列{a n + b n}的前100项和为() A、0 B、100 C、10000 D、505000 二、填空题 9、在等差数列{a n}中,a n = m,a n+m= 0,则a m= ______。 10、在等差数列{a n}中,a4 +a7 + a10 + a13 = 20,则S16 = ______ 。 11、在等差数列{a n}中,a1 + a2 + a3 +a4 = 68,a6 + a7 +a8 + a9 + a10 = 30,则从a15到a30的和是 ______ 。 12、已知等差数列 110,116,122,……,则大于450而不大于602的各项之和为 ______ 。 13、在等差数列{a n}中,已知a1=2,a2 + a3 = 13,则a4 + a5 +a6 = 14、如果等差数列{a n}中,a3 +a4 + a5 = 12,那么a1 + a2 +…+ a7 = 15、设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a1 = 3,a5 = 11,S7 = 16、已知{a n}为等差数列,a1 + a3 + a5 = 105,a2 +a4 + a6 = 99,则a20 =
等差数列与等比数列十大例题 例1、已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)求n a 及n S ; (Ⅱ)令b n = 2 1 1 n a -(n ∈N *),求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,因为37a =,5726a a +=,所以有 11 27 21026a d a d +=?? +=?,解得13,2a d ==, 所以321)=2n+1n a n =+-(;n S =n(n-1) 3n+22 ?=2n +2n 。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知2n+1n a =,所以b n = 2 1 1n a -=21=2n+1)1-(114n(n+1)?=111(-)4n n+1 ?, 所以n T = 111111(1-+++-)4223n n+1?- =11(1-)=4n+1?n 4(n+1) , 即数列{}n b 的前n 项和n T = n 4(n+1) 。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 例2、 设n S 为数列{}n a 的前n 项和,2n S kn n =+,* n N ∈,其中k 是常数. (I ) 求1a 及n a ; (II )若对于任意的* m N ∈,m a ,2m a ,4m a 成等比数列,求k 的值. 解(Ⅰ)当1,111+===k S a n , 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n (*) 经验,,1=n (*)式成立, 12+-=∴k kn a n (Ⅱ)m m m a a a 42,, 成等比数列,m m m a a a 42 2.=∴, 即)18)(12()14(2 +-+-=+-k km k km k km ,整理得:0)1(=-k mk ,
1.【2017浙江,6】已知等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 【答案】C 【考点】 等差数列、充分必要性 【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式,通过公式的套入与简单运算,可知 4652S S S d +-=, 结合充分必要性的判断,若q p ?,则p 是q 的充分条件,若q p ?, 则 p 是q 的必要条件,该题“0>d ”?“02564>-+S S S ”,故为充要条件. 2.【2015高考新课标1,文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和,若 844S S =,则10a =( ) (A ) 172 (B )19 2 (C )10 (D )12 【答案】B 【解析】∵公差1d =,844S S =,∴11118874(443)2 2 a a +??=+??,解得1a =1 2 , ∴101119 9922 a a d =+= += ,故选B. 【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式 【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式,利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,利用等差数列性质可以简化计算. 3.【2014高考重庆文第2题】在等差数列{}n a 中,1 352,10a a a =+=,则7a =( ) .5A .8B .10C .14D 【答案】B
【解析】 试题分析:设等差数列{}n a 的公差为d ,由题设知,12610a d +=,所以,1 10216 a d -== 所以,7 16268a a d =+=+=.故选B. 考点:等差数列通项公式. 【名师点睛】本题考查了等差数列的概念与通项公式,本题属于基础题,利用下标和相等的两项的和相等更能快速作答. 4. 【2014天津,文5】设 {}n a 是首项为1 a ,公差为1-的等差数列,n S 为其前n 项和,若 , ,,421S S S 成等比数列,则1a =( ) A.2 B.-2 C.2 1 D .1 2- 【答案】D 考点:等比数列 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式,本题属于基础题,利用等差数列的前n 项和公式表示出,,,421S S S 然后依据,,,421S S S 成等比数列,列出方程求出首项.这类问题考查等差数列和等比数列的基本知识,大多利用通项公式和前n 项和公式通过列方程或方程组就可以解出. 5. 【2014辽宁文9】设等差数列{}n a 的公差为d ,若数列1{2}n a a 为递减数列,则( ) A .0d < B .0d > C .10a d < D .10a d > 【答案】C 【解析】 试题分析:由已知得,11122n n a a a a -<,即111212 n n a a a a -<,1 n 1(a ) 21n a a --<, 又n 1a n a d --=,故121a d <,从而10a d <,选C . 【考点定位】1、等差数列的定义;2、数列的单调性. 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、数列的性质等, 解答本题的关键,是写出等差