【一】选择题:本大题共12小题,每题5分,总分值60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合要求的.
1.命题〝假设2x =,那么2
320x x -+=〞的逆否命题是〔 〕
A 、假设2x ≠,那么2320x x -+≠
B 、假设2320x x -+=,那么2x =
C 、假设2320x x -+≠,那么2x ≠
D 、假设2x ≠,那么2
320x x -+=
2.〝直线l 垂直于ABC △的边AB ,AC 〞是〝直线l 垂直于ABC △的边BC 〞的 〔 〕
A 、充分非必要条件
B 、必要非充分条件
C 、充要条件
D 、既非充分也非必要条件
3 .过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点.假设AB 中点M 到抛物线
准线的距离为6,那么线段AB 的长为〔 )
A 、6
B 、9
C 、12
D 、无法确定
4.圆
042
2=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ( ) A 、023=-+y x B 、043=-+y x C 、043=+-y x D 、023=+-y x
5.圆心在抛物线x
y 22=上,且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是
〔 〕 A 、0
122
2
=+--+y x y x B 、041
222=-
--+y x y x C 、0
122
2
=+-++y x y x
D 、
041222=+
--+y x y x
6.在空间直角坐标系O xyz -中,一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2),(2,2,0),
(0,2,0),(2,2,2).那么该四面体在xOz 平面的投影为〔 〕
A 、
B 、
C 、
D 、
7.双曲线22
2
21(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线平行于直线:250l x y ++=,双曲线的一个焦
点在直线l 上,那么双曲线方程为〔 〕
A 、221205x y -=
B 、221520x y -=
C 、2233125100x y -=
D 、22
33110025x y -=
8.变量,x y 满足约束条件
??
?
??≥-≤+-≤-+010120
5x y x y x ,那么y
x 的最小值是〔 〕
A 、1
B 、4
C 、2
3 D 、09.a, b, c 均
为直线,α, β为平面,下面关于直线与平面关系的命题:
〔1〕任意给定一条直线a 与一个平面α,那么平面α内必存在无数条与a 垂直的直线;
〔2〕任意给定的三条直线a, b, c ,必存在与a, b, c 都相交的直线; 〔3〕α//β,βα??b a , ,必存在与a, b 都垂直的直线;
〔4〕βαβαβα??=⊥b a c , , , ,假设a 不垂直c ,那么a 不垂直B 、 其中真命题的个数为〔 〕 A 、 1
B 、
2
C 、3
D 、4
10.抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线()22
221x y a b a b -=>0,>0的右焦点,且两
条曲线的交点的连线过点F ,那么该双曲线的离心率为〔 〕 A 2 B 、2 C 2+1 D 2-1
P
A
B
C
D
E
11.抛物线方程为x y 82
=,直线l 的方程为02=+-y x ,在抛物线上有一动点P 到y 轴
的距离为1d ,P 到l 的距离为2d ,那么21d d +的最小值为〔 〕 A 、232- B 、222- C 、22 D 、222+ 12.双曲线
1342
2=-y x 的左右焦点分别为21,F F ,O
为坐标原点,P 为双曲线右支上一
点,21PF F ?的内切圆的圆心为Q ,过2F 作PQ 的垂线,垂足为B ,那么OB 的长度为〔 〕
A 、7
B 、4
C .3
D 、2
【二】填空题:本大题共4小题,每题5分,总分值20分.
13.双曲线1
322
=-y x 的两条渐近线的夹角为
14.2019某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名,x 和y
须满足约束条
件
??
?
??≤≤-≥-6252x y x y x ,那么该校招聘的教师最多是 名.
15.如图,⊥PA 平面ABC ,AB AC ⊥,
BC AP =,?=∠30CBA ,D 、E 分别是BC 、AP 的中点.
那么异面直线AC 与DE 所成角的正切值为 . 16.一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥如右图,且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上,如
图,圆锥底面面积是这个球面面积的3
16,那么较大圆锥与较
小圆锥的体积之比为___________
【三】解答题:本大题共5小题,共70分.解答须写出相应文字说明、证明过程和演算步骤.
17.(总分值12分) 在平面直角坐标系xoy 中,点P 到两点M ()0,3-、N ()
0,3的距
离之和等于4.设点P 的轨迹为C 、 (1) 写出轨迹C 的方程;
(2) 设直线y=1
2
x+1 与C 交于A 、B 两点, 求|AB|的长。
18.(总分值 14分) 如下图,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥平面ABCD ,又//AD BC ,
AD DC ⊥,
且33PD BC AD ===.
〔1〕在网格中画出四棱准P ABCD -的正视图; 〔2〕求证:平面PAD ⊥平面PCD ;
〔3〕在棱PB 上是否存在一点E ,使得//AE 平 面PCD ,假设存在,求PE
EB 的值. 假设不存在,
请说明理由
19.(总分值 14分) 如图,在平面直角坐标系xOy 中,点
()
03A ,,直线24l y x =-:.设圆的半径为1,圆心在l 上.
(1) 假设圆心C 也在直线1y x =-上,过点A 作圆C 的切线,求
切线的方程;
(2) 假设圆C 上存在点M ,使2MA MO =,求圆心C 的横坐
标
a 的取值范围.
20.(总分值14分) 椭圆C:22
2
21(0)x y a b a b +=>>的焦点是(3,0)、3,0),且椭圆经过
点
2
(2,
。
(1) 求椭圆C 的方程;
(2) 设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ,求证:直
P
C B
A
D
线l 恒过定点.
21.(总分值16分) 椭圆C :2222
1(0)y x a b a b +=>>
,其四个顶点组成的
菱形的面积是O 为坐标原点,假设点A 在直线2=x 上,点B 在椭圆C 上,且
OA OB ⊥.
〔1〕 求椭圆C 的方程; 〔2〕求线段AB 长度的最小值; 〔3〕试判断直线AB 与圆2
22x y +=的位置关系,并证明你的结论.
答案及说明
选择题:CACDD AACBC BD
填空题:13.3π
;14.13;15.7;16.3:1
解答题:
17.(总分值12分)解:〔1〕设P 〔x ,y 〕 ∵MN PN PM =>=+324
由椭圆定义可知,点P 的轨迹C 是以M 、N 为焦点,长半轴为2的椭圆. ……2分
它的短半轴
1,
b ==故曲线C
的方程为2
2
1
4y x +=. (4)
分
〔2〕设1122()()A x y B x y ,,,,其坐标满足2
2141?+=???
=+?y x y kx ……………………5分
消去y 并整理得22
(4)230k x kx ++-=,
故
1212
2223
44k x x x x k k +=-
=-++,. (7)
分
当
1
2k =±
时,
12417
x x +=
,
121217
x x =-
.……………………8分
2222
212121()()(1)()AB x x y y k x x =-+-=+-,…………………9分
而
22212112()()4x x x x x x -=+-2322443413
4171717??=+?=,………………10分
所以465AB =
.……………………………………………………………12分
18.〔总分值14分〕〔1〕解:四棱准P ABCD -的正视图如下图.
………………2分
〔2〕证明:因为 PD ⊥平面ABCD ,AD ?平面ABCD , 所以 PD AD ⊥. ………………6分 因为 AD DC ⊥,PD CD D =,PD ?平面PCD ,CD ?平面PCD ,
所以AD ⊥平面PCD . ………………7分 因为 AD ?平面PAD ,所以 平面PAD ⊥平面
PCD . ………………8分
〔3〕分别延长,CD BA 交于点O ,连接PO ,在棱
PB 上取一点
E ,使得1
2PE EB =
.下证//AE 平面PCD .
………………10分
因为 //AD BC ,3BC AD =,
所以 13OA AD OB BC ==
,即
1
2OA AB =.
所以 OA PE
AB EB =
. 所以//AE OP . ………………12分
因为OP ?平面PCD ,AE ?平面PCD , 所以 //AE 平面PCD . ………………14分
19.〔总分值14分〕解:〔1〕联立:??
?-=-=421x y x y ,得圆心为:C(3,2).……1分[来源:
学科网ZXXK]
设切线为:3+=kx y ,d =1
1|
233|2
==+-+r k k ,得:
43
0-
==k k 或.
故所求切线为:
343
+-
==x y y 或
. ……6分
〔2〕设点M(x ,y),由MO MA 2=,知:2
2222)3(y x y x +=-+,……8分 化简得:
4)1(2
2=++y x , ……10分 即:点M 的轨迹为以(0,1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D 、
又因为点M 在圆C 上,故圆C 圆D 的关系为相交或相切. ……11分 故:1≤|CD|≤3,其中
2
2)32(-+=a a CD . ……12分
解之得:0≤a ≤12
5 . ……14分
20.〔总分值14
分〕解:〔1〕椭圆C 的方程为22
2
21(0)x y a b a b +=>>
∴ 22
3a b -=,
24a ==
所以所求椭圆C 的方程为2
21
4x y += (4)
分
〔2〕方法一〔1〕由题意可知,直线l 的斜率为0时,不合题意. (2)不妨设直线l 的方程为
x ky m =+.
由2
2
,14x ky m x y =+???+=?? 消去x 得
222(4)240k y kmy m +++-=. …………………7分
设11(,)A x y ,22(,)B x y ,那么有122
24km
y y k +=-+……①,
212244m y y k -=+………② ………………… 8分
因为以AB 为直径的圆过点M ,所以0MA MB ?=. 由1122(2,),(2,)MA x y MB x y =-=-,得1212(2)(2)0x x y y --+=. 将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式, 得2
21212(1)(2)()(2)0k
y y k m y y m ++-++-=. ……… ③ ……………………12分
将①②代入③,得 225161204m m k -+=+,解得6
5m =
或2m =〔舍〕.
综上,直线l 经过定点6(,0).
5 (14)
分
方法二证明:(1) 当k 不存在时,易得此直线恒过点6(,0)
5.…………7分
〔2〕当k 存在时.设直线l y kx m =+的方程为,1122(,),(,)A x y B x y ,(2,0)M .
由22
14
x y y kx m ?+=???=+?,可得
222(41)84120k x kmx m +++-=. 2216(41)0k m ?=-+>
1228,
41km
x x k -+=+ ……①
21224441m x x k -=+ ……. ② …………………9分 由题意可知
0MA MB ?=,1122(2,),(2,),MA x y MB x y =-=- 1122,.
y kx m y kx m =+=+
可得 1212(2)(2)0x x y y -?-+=. …………………10分 整理得
221212(2)()(1)40
km x x k x x m -+++++= ③
把①②代入③整理得 22
2121650,41k km m k ++=+ 由题意可知
22121650,k km m ++=
解得
6
2,.
5m k m k =-=- 〔i 〕 当2,(2)m k y k x =-=-即时,直线过定点〔2,0〕不符合题意,舍掉.……12分
〔ii 〕 65m k =-时,即6()5y k x =-,直线过定点6
(,0)
5,经检验符合题意. 综上所述,直线l 过定点6
(,0)
5 .…………………14分
21.〔总分值16分〕21、解:〔1〕由题意
22242c e a ab ?==?
?
?=?
,解得
22
4,2a b ==. 故椭圆C 的标准方程为22
1
42y x +=. ……………4分
〔2〕设点A ,B 的坐标分别为00(2,),(,)t x y ,其中00≠y ,
因为OA OB ⊥,所以0OA OB ?=,即0020+=x ty , ……………5分 解得
02=-
x t y ,又220024+=x y ,
所以222
00||(2)()=-+-AB x y t =2
200002(2)()-++x x y y =222
0002044+++x x y y =222
00020
42(4)42--+++y y y y =22002
084(04)2++<≤y y y ,……………8分
因为2200208
4(04)2+≥<≤y y y ,当且仅当204=y 时等号成立,所以
2
||8AB ≥, 故线段AB 长度的最小值为22 ……………9分
〔3〕直线AB 与圆
22
2x y +=相切. ……………10分 证明如下:设点A,B 的坐标分别为00(,)x y ,(2,)t ,其中00y ≠. 因为OA OB ⊥,所以0OA OB ?=,即0020x ty +=,解得0
2x t y =-
. ……………11分
直线AB 的方程为
00(2)2y t
y t x x --=
--,
即0000()(2)20y t x x y y tx ----+=, ……………12分
圆心O 到直线AB
的距离d =
……………13分
由
220024
y x +=,
02x t y =-
,故
d =
== ,
所以 直线AB 与圆
222x y +=相切. ……………16分